文档介绍：(2011·高考重庆卷)如图,椭圆的中心为原点O,离心率e=,一条准线的方程为x=2.
(1)求该椭圆的标准方程.
(2)设动点P满足:=+2 ,其中M,N是椭圆上的点,直线OM与ON的斜率之积为-,问:是否存在两个定点F1,F2,使得|PF1|+|PF2|为定值?若存在,求F1,F2的坐标;若不存在,说明理由.
解:(1)由e==,=2,
解得a=2,c=,b2=a2-c2=2,
故椭圆的标准方程为+=1.
(2)设P(x,y),M(x1,y1),N(x2,y2),
则由=+2
得(x,y)=(x1,y1)+2(x2,y2)=(x1+2x2,y1+2y2),
即x=x1+2x2,y=y1+2y2.
因为点M,N在椭圆x2+2y2=4上,
所以x+2y=4,x+2y=4,
故x2+2y2=(x+4x+4x1x2)+2(y+4y+4y1y2)
=(x+2y)+4(x+2y)+4(x1x2+2y1y2)
=20+4(x1x2+2y1y2).
设kOM,kON分别为直线OM,ON的斜率,由题设条件知
kOM·kON==-,因此x1x2+2y1y2=0,
所以x2+2y2=20.
所以P点是椭圆+=、右焦点为F1、F2,则由椭圆的定义|PF1|+|PF2|为定值,又因为c= =,
因此两焦点的坐标为F1(-,0),F2(,0).