3.4 数列求和 随堂检测（含答案解析）.doc

文档介绍：已知{an}为递增的等比数列,且{a1,a3,a5}{-10,-6,-2,0,1,3,4,16}.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)是否存在等差数列{bn},使得a1bn+a2bn-1+a3bn-2+…+anb1=2n+1-n-2对一切n∈N*都成立?若存在,求出bn;若不存在,说明理由.
解:(1)因为{an}是递增的等比数列,
所以数列{an}的公比q是正数.
又{a1,a3,a5}{-10,-6,-2,0,1,3,4,16},
所以a1=1,a3=4,a5=16,
从而q2==4,q=2,an=a1qn-1=2n-1,
所以数列{an}的通项公式为an=2n-1.
(2)假设存在满足条件的等差数列{bn},=1时,a1b1=1,
又∵a1=1,∴b1=1;当n=2时,a1b2+a2b1=4,b2+2b1=4,
b2==b2-b1=1,
∴bn=b1+(n-1)d=1+(n-1)×1=n.
以下证明当bn=n时,a1bn+a2bn-1+…+an-1b2+anb1=2n+1-n-2对一切n∈N*都成立.
设Sn=a1bn+a2bn-1+…+an-1b2+anb1,
即Sn=1×n+2×(n-1)+22×(n-2)+23×(n-3)+…+2n-2×2+2n-1×1,①
2Sn=2×n+22×(n-1)+23×(n-2)+…+2n-1×2+2n×1,②
②-①得Sn=-n+2+22+23+…+2n-1+2n
=-n+=2n+1-n-2,
所以存在等差数列{bn},bn=n,使得a1bn+a2bn-1+…+an-1b2+anb1=2n+1-n-2对一切n∈N*都成立.