文档介绍：总结
2. 3. 4 三次样条插值函数的误差估计
三转角算法
三弯矩算法
三次样条插值函数的概念
§ 三次样条插值
三次样条插值
学习目标:
知道三次样条插值函数的概念,会求三次样条插值函数,进行误差分析。
SPLINE INTERPOLATION
引例: y=sin x 在区间[0,]上的插值逼近
1. 二次插值
2. 两点埃尔米特插值
3. 分段埃尔米特插值
x 0 /2
Sin x 0 1 0
Cos x 1 0 –1
x 0
Sin x 0 0
Cos x 1 –1
高次插值出现龙格现象
L-插值(牛顿插值)
Hermite插值
分段插值
但分段线性插值在节点处不一定光滑
分段Hermite插值
但导数值不容易提取(找到)
●为得到光滑度更高、应用方便的插值函数,我们引入样条插值函数。“样条”名词来源于工程中船体、汽车、飞机等的外形设计:给出外形曲线上的一组离散点(样点),如(xi, yi), i = 0, 1, 2, …, n, 将有弹性的细长木条或钢条(样条)在样点上固定,使其在其它地方自由弯曲,这样样条所表示的曲线,称为样条曲线(函数)。
一背景
三次样条插值函数的概念
x=-5:5;
y=1./(1+x.^2);
plot(x,y,x,y,'o')
x=-5:5;
y=1./(1+x.^2);
xi=-5:.05:5;
yi=spline(x,y,xi);
plot(xi,yi,'b',x,y,'ro')
被插值函数:
-5≤ x ≤ 5
3/18
x=[0, , , , , , ];
y=[0, , , , , , 0];
n=length(x);
t=0:n-1;tt=0:.25:n-1;
xx=spline(t,x,tt);yy=spline(t,y,tt);
plot(xx,yy,x,y,'o')
相同数据3次样条插值与Lagrange插值效果比较
Cubic Spline Interpolation Lagrange Interpolation
下面介绍应用最广且只有二阶连续导数的三次样条函数. 在数学上,三次样条曲线表现为近似于一条分段的三次多项式,它要求在节点处具有一阶和二阶连续导数。
二、样条函数的定义
定义 (三次样条函数)
在每一个小区间
上是次数
多项式。
,即具有连续的一阶,二阶导数。
满足下述条件:
如果函数
设有对[a,b]的剖分
的一个3次样条函数。
为关于剖分
则称
*给定区间[a , b]上的一个分划:
a = x0 < x1 < …< xn = b
已知 f(xj) = yj (j = 0,1,···,n), 如果
满足: (1) S(x)在[xj,xj+ 1]上为三次多项式;
(2) S (x)在区间[a,b]上连续;
(3) S(xj) = yj ( j = 0,1,···,n).
则称 S(x)为三次样条插值函数.
注:三次样条与分段 Hermite 插值的根本区别在于S(x)自身光滑,不需要知道 f 的导数值(除了在2个端点可能需要);而Hermite插值依赖于f 在所有插值点的导数值。
f(x)
H(x)
S(x)