文档介绍：对面积的曲面积分第一类曲面积分第四节对面积的曲面积分(第一类曲面积分)曲面积分有两种一种是对坐标的曲面积分,一种是对面积的曲面积分(一对面积的曲面积分(第一类曲面积分)的基本概念与性质,,设有一曲面型构件的物体,在点处的密度为fx,y,z,求此物体的质量((,,)xyz,,,求解的方法是,将曲面分为若干个小块(),其面积分别记为in,1,2,,i,,M,,,,,,S,,,,(),在小块曲面上任意取一点,若密度函数fx,y,z是in,1,2,iiiii,,M,,,,,,S,,连续变化的则可以用点处的密度近似小块上的密度(于是小块的质量iiiii,,f,,,,,,S为,将所有这样的小块的面积加起来,就是物体的质量的近似值(即iiiin,,m,f,,,,,,S,iiii,1in当个小的曲面的直径的最大值时,上面的式子右端的极限值如果存在,则将此,,0极限值定义为曲面的质量(即n,,m,limf,,,,,,S(,iiii,,0i,1总之,以上解决问题的方法就是:先把它分成一些小片,估计每一小片上的质量并相加,(,,fx,y,(或分片光滑曲面)上的有界函数(将曲,,,,Si,1,2,...,n,,,,面分为若干个小块(in,1,2,,),其面积分别记为,在小块曲面iii,,M,,,,,上任意取一点,若极限iiin,,limf,,,,,,S,iiii,,0i,1,,fx,y,z存在,则称此极限值为函数在曲面上对面积的曲面积分(或称第一类曲面积,分)(记为(即,,fx,y,zds,,,n,,limf,,,,,,S=(,,fx,y,zds,iiii,,,,0,1i,,,,,fx,y,z其中表示所有小曲面的最大直径,称为被积函数,称为积分曲面(,,i对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分具有相似的性质(如11);,,,,,,,,,,fx,y,z,gx,y,zds,fx,y,zds,gx,y,zds,,,,,,,,,2);,,,,kfx,y,zds,kfx,y,zds,,,,,,3)(,,,,,,fx,y,zds,fx,y,zds,fx,y,zds,,,,,,,,,,,1212二对面积的曲面积分(第一类曲面积分)的计算D,,设积分曲面由单值函数确定,曲面在坐标面上的投影为,函数z,zx,yxoyxyD,,z,zx,y在具有连续偏导数(即曲面是光滑曲面)(按照对面积的曲面积分的定义,xy有n,,,,fx,y,zdS,limf,,,,,,S(,iiii,,,,0i,1,,,,,,S,,设对曲面的第块在坐标面上的投影为,则可以表示为下面的二xoy,iiii重积分:22,,,,,S,1,fx,y,z,fx,y,zdxdyixy,,,,,,i有二重积分的中值定理有22,,,,,S,1,z,,,,,,z,,,,,,,ixiiiyiiii,,,,,,,,,,,,S,,,,,其中是小曲面上的任意一点,为内任意一点,所以iiiiiiin22,,,,,,,,fx,y,zdS,limf,,,,,1,z,,,,,,z,,,,,,,,iiixiiiyiiii,,,,0i,1,,,,,z,,,注意到,从而得到二重积分的计算公式iii22,,,,,,,,,,fx,y,zdS,fx,y,zx,y1,zx,y,zx,ydxdy(xy,,,,,Dxy,,z,zx,y这个公式是很容易理解和记忆的,因为曲面的方程是,曲面的面积元素,22DdS,1,z,zdxdy为,曲面在坐标面上的投影是,于是对面积的曲面积分XOYxyxy就化为二重积分了(将这个过程简单归纳如下:z,,z,zx,y1)用的函数代替;x,y221,z,zdxdy2)用换;dSxyD3)将曲面投影到坐标面上得到投影(XOYxy2简单地说就是“一代二换三投影”(dS,,,其中曲面是由平面截球面z,h0,h,a,,,z,2222的顶部(x,y,z,a图13-16222解:曲面的方程为,它在坐标面上的投影为圆形的闭区域:z,a,x,y,xoy2222x,y,a,h(a22,,,,1zzxy222,,axy所以dSa,dxdy,,,,222zaxy,,,Dxy利用极坐标计算上面的积分,得到222,ah,dSardrdardrd,,,,d,2222,,,,,,00zarar,,,Dxy22ah,1a,,22,,,,2ln2lnaara,,,,,,h2,,0dSx,y,z,,其中曲面是由平面以及三个,2,,,,1,x,y,坐标面所围成的四面体的表面(3图13-17,,,,,,,,,,,,,,解:如上图,曲面由曲面组成,其中分别是平面,12341234,上的部分(x,y,z,1x,0,