文档介绍：全国高中生数学数学竞赛二试模拟训练题(34)加试模拟训练题(34)1、双心四边形是指既有内切圆又有外接圆的四边形,证明对这样的四边形,、已知,且,求证:3、有17位科学家,其中每一人和其他所有人通信,他们通信中只讨论三个题目,:(x+y)(y+z)(z+x)+(x+y+z)3=1-xyz的所有整数解。1、双心四边形是指既有内切圆又有外接圆的四边形,证明对这样的四边形,两个圆心与对角线交点共线.【题说】第三十届(1989年).【证】设四边形ABCD为双心四边形,其外接圆圆心为O,内切圆圆心为I,对角线交点为K,不难推出下列三个引理:(1)对圆外切四边形ABCD,设切点为P、Q、R、S,则PR、QS的交点就是对角线AC,BD的交点K.(2)若K为⊙I内一定点,则对K点张直角的弦EF的中点的轨迹是一个圆,圆心为IK的中点M.(3)在(1)中若四边形ABCD有外接圆,则PR⊥(3),PQ、QR、RS、SP对K点张直角,因而它们的中点A'、B'、C'、D'',所以A'就是以I为反演中心,⊙I为反演圆时,A经反演所得的像,同样B'、C'、D'分别为B、C、D的像,因此⊙O经过反演成为A'B'C'D'的外接圆,从而O与这圆的圆心M,反演中心I共线,所以O在直线IM上,即O、M、K共线,、已知,且,求证:分析与证明:为书写简便,首先令;则原不等式可化为:结合条件知只需证齐次不等式:.因为==.、有17位科学家,其中每一人和其他所有人通信,他们通信中只讨论三个题目,:至少有三个科学家相互之间讨论同一个题目.【题说】第六届(1964年).【证】将科学家对应于点,两科学家之间讨论的题目对应两点连线的颜色,原题转化为:17个点两两连边,边用红、蓝、白之一染色,,根据抽屉原则,,另一端点分别为A2,A3,…,,如果其中有一条为红色