文档介绍：全国高中生数学数学竞赛二试模拟训练题(87)加试模拟训练题(87){a0,a1,a2,…}满足:(1)an+1=3an-3an-1+an-2,n=2,3,…;(2)2a1=a0+a2-2;(3)对任意自然数m,在数列{a0,a1,a2,…}中必有相继的m项ak,ak+1,…,ak+m-:{a0,a1,a2,…),把所有这些小矩形拼成一个与小矩形相似的大矩形,问小矩形的边长各是多少?,证明对于不可能有某一正整数,使能被整除.(,32)加试模拟训练题(87){a0,a1,a2,…}满足:(1)an+1=3an-3an-1+an-2,n=2,3,…;(2)2a1=a0+a2-2;(3)对任意自然数m,在数列{a0,a1,a2,…}中必有相继的m项ak,ak+1,…,ak+m-:{a0,a1,a2,…)的所有项都是完全平方数.【题说】1992年中国数学奥林匹克题6.【证】令dn=an-an-1,则由(1)dn+1-dn=dn-dn-1=…=d2-d1所以{dn}是等差数列,从而由(2),d2-d1=a2-2a1+a0=2,所以an=n2+bn+c,b、c∈Z若b为奇数2t+1,则在n充分大时,大于(n+t)2,小于(n+t+1)2(=(n+t)2+2n+2t+1),(3),{an}有任意大的平方数,矛盾!所以b为偶数2t,从而an=(n+t)2+c-t2在c-t2>0时,对于充分大的n,an介于(n+t)2与(n+t+1)2之间,与(3)-t2<0也导出矛盾(考虑连续平方数(n+t-1)2与(n+t)2).所以c-t2=0,an=(n+t)2.【注】(3)可减弱为{an}中有任意大的平方数,即{an}中有无穷多个平方数. ,把所有这些小矩形拼成一个与小矩形相似的大矩形,问小矩形的边长各是多少?【题说】1980年北京市赛