文档介绍：加试模拟训练题(87)
1求证：四条直线两两相交所构成的四个三角形的外接圆相交于一点，且由该点向四条
直线所作垂线的垂足在一条直线上;
已知整数列｛%, ai，a2,…｝满足：
an+i=3an-3an_i+an_2, n=2, 3, …；
2ai=a0+a2-2；
对任意自然数m,在数列｛a。，ap亞，…｝中必有相继的m项dk， ak+l，…'Qk+m-l都是完全平方数.
求证：｛qo, ap q，…)的所有项都是完全平方数.
有24个面积为S的全等小矩形，把所有这些小矩形拼成一个与小矩形相似的大矩形，问小矩形的边长各是多少？
设a严0, 2an+i = 3a” + ^5an2+4 (“ = 1,2,…)，证明对于a”不可能有某一正整数N ,使 a?” 能被 1989整除.(P. 185, 32)
加试模拟训练题(87)
1求证：四条直线两两相交所构成的四个三角形的外接圆相交于一点，且由该点向四条直线所作垂线的垂足在一条直线上；
证明：如图，设四条直线4B、BC、CD、AD中，
AB交CD于点E, BC^AD于点F,
圆BCE与圆CDF的另一个交点为G
ZBGF = ZBGC + ZCGF = ZBEC + ZCDA
:.ZBGF + ZA = 18Q°,即圆ABF过点G
同理圆4ED也过点G
.•.圆BCE、圆CDF、圆4BF、圆4ED交于同一点G
若点G向AB、BC、CD、D4所作垂线的垂足分别为E、L、M、N、P,
由西姆松定理可知厶、M、N在一条直线上,
M、N、P在一条直线上，
故厶、M、N、P在同一条直线上
｛a。，ai，a2, •••｝满足：
an+p3an-3an_i+an-2' n=2, 3, •••；
2ai=a°+a2-2；
对任意自然数m,在数列｛a。，ai，az，•••｝中必有相继的m项ak， ak+i，…，ak+m-i都是完全平方数.
求证：｛a。，ai，a2,…)的所有项都是完全平方数.
【题说】1992年中国数学奥林匹克题6.
【证】令dn=an-an-i＞则由 ⑴
dn+l-dn=dn-dn-F"=d2-d]
所以｛*｝是等差数列，从而
a.=昨 +•送％ =ao tiidj + • Cda -dt）
I &
由（2）, d2-di=a2-2ai+ao=2,所以
an=『+bn+c, b、c^Z
若b为奇数2t+l,则在n充分大时，
・.（n+t） 2+n + c-t?
大于（n+t） 2,小于（n+t+1） 2 （= （n+t） 2+2n+2t+l）,因而 a* 不是平
（3）, ｛an｝有任意大的平方数，矛盾！所以b为偶数2t,从而
an= （n+ t） 2+c-t2
在c-t2>0时，对于充分大的n, %介于（n+ t）'与（n+t+1）'之间，与（3）
样c-t2<0也导出矛盾（考虑连续平方数（n+t-1） 2与（n+t） c-t2=0, an= （n+ t） 2.
【注】（3）可减弱为｛%｝中有任意大的平方数，即｛%｝中有无穷多个平方数.
，把所有这些小矩形拼成一个与小矩形相似的大矩形，问小矩形的边