文档介绍：第 18 讲
§3 除环、域
(Division ring and field)

本讲的教学目的和要求:继整环之后,除环是另一个需要我们密切关注的环类。与整环相比,除环少了“交换性”这个“好性质”,但也同时增添了“为乘群”这个更好的性质。仔细口味起来,整环与除环相比,有相同性,当然也有不同处。相同处为:都有单位元,都是无零因子环;不相同处为:前者可以是零环,而后者不行;前者可换而后者不一定可换;前者不具备“为乘群”,但后者具备。我们把整环的优点(可换性)与除环的优点(可逆性)凑合在一起,则成了另一个更“好”的代数体系---域。以上就是本讲内容的背景。学习本讲要求掌握:
1、整环与除环的区别和联系。
2、整环的几种判定。
3、四元数除环的意义。
4、域的运算规则和域的判定法则。
本讲的教学难点和重点:本讲的重点有二个:①除环的几个判定法则。②域的运算法则的证明。由于本讲中只涉及到二个主要概念,所需的知识面不广,故不存在什么难点。
除环
设是一个幺环,在§2中已知,的所有可逆元做成一个
乘法群。我们总是希望能尽量的“大”,最好是“大”到子—的一切非零元。如果真能办到,就成了下面要研究的对象—除环。
定义1:设是一个环,如果满足下列条件,则称是一个除环.(也可以称为体)
①必有非零元(至少含有两个元)
②
③中每个元都有逆元.
将上除环的定义“浓缩”为:
是除环是一个含有的非零环且的每个非零元都可逆。
性质1. 除环必是无零因子环,但反之不成立.
证明: .

显然,整数环应是元零因子环,但它不是除环。
性质2. 对除环而言,一切非零元构成的集合是一个乘法群.(收上用记号)
(这是§2中结论2的观点)
利用性质2. 得到判断除环的一种方法.
结论: 非零环是除环是一个乘法群.
明示: 对于除环而言,乘法群习惯上叫做除环的乘群.
由上可知:除环是由两个群—加群和乘群凑合而成的;而环中的分配律恰似一座桥,在这个群间建立了联系.
结论2. 设是一个有限的非零环,那么是除环是无零因子环.
证明: 由性质1
,又中满足消去律中也满足消去律,由于有限,由第二章是一个群, 是除环.
二、域
我们知道,整环是可变换的,而除环未必能变换,将这两
—域.
定义2:设除环是变换环,那么称为域,记为.
明示:域必是除环域具有除环所有的性质.
前面曾介绍的很多数环都是域(称为数域):有理数域,实数域,,也是域,我们很容易发现:要找一个非域的除环是不容易的,下面“编造”出一个—四元数除环。
设是所有的复数对(事实上,)在中定义加法和乘法:
其中和表示和的共轭复数.
可以证明: 是一个环.(略)
又易知是的单位元是一个幺环.
任取的一个非零元
由于不全为零
(不全为零)
于是有,使
()==.
由的任意性中每个零元都可逆是一个除环.
另外,显然, 而
,
这说明
即不是域.
所以是一个非域的除环。
我们将上述除环称为哈米尔顿(Hamiltom)四元数除环,也简称为四元数除环。这里的“四元数”的来历如下:
令
不妨称它们为“数”,