文档介绍：第 21 讲
§6. 多项式环
(Rings of polynomials )
本讲的教学目的和要求:在高等代数中,已经建立了数域上的多项式环的一般理论,但是在处理某些问题时常会遇到诸如整系数多项式,矩阵系数多项式(譬如—矩阵)等环上的多项式,它们与数域的多项式相比,有很多本质上的差异故此,有必要讨论环上多项式环的一般理论,,提出如下要求:
1、明确代数元和超越元的概念以及什么是上的关于超越元的多项式歪.(本教材称超越元为半定元—与高等代数中的称呼一致)
2、超越元(半定元)的存在性定理和多项式环存在性定理的证明需要弄懂.
3、对多元多项式的本质上的理论问题需要清楚.
本讲的重点和难点: 本讲是高等代数中多项式环(定义在数域上)的推广,是本章中众多类型中的“另类”.由于环的“型”不同,故研究的方法也不同,这是难点之一。如何清醒地认识到不能直接用“高代”的理理论直接套用,是关键。而本讲的重点“存在性定理”的证明。
一、多项式环的定义。
设是一个含有单位元的可变换环。
又设是的子环且,现考察中含及
任取定元素的最小子环:
显然每个.
定义1. 如上形式的每个元素都叫做上关于的一个多项式,而每个都叫做该多项式的系数.
(是的一个
子环)
, 定义规则如下:(当)
, 必定假设.
其中

又
可知

确定是一个环. (是含和的最小的子环)
定义2. 如果上方得到的环叫做上的的多项式环.
显然是的一个子环,但中每个多项式的表达形式未必唯一.
譬如,设,而. 那么中的零元
. 的表达式不唯一.
换句话说:上述定义的多项式环中会出一种现象:
,,我们有必要对做如下的讨论.
定义3. 设和如前所示,称为的一个未定元(超越元),若在中找不到不全为零的元素使

( 即) .
否则称为上的代数元.<br上的未定元为.
有上述的理论做“底子”,现可以定义多项式的问题.
定义4. ,记为没有没有次数。
思考题1. 为什么不能在定义1中同时定义多项式的次数。
为什么要规定“”?
若是的未定元时,有可能吗?
由上,我们已看到未定元的重要性,但对给定的环里未定元是否一定存在?
例如: 设,则知是可换的幺环,而为的子环,但的未定元不存在。
事实上,若是未定元,则发现有
这与是未定元矛盾。由的任意性没有的未定元。
二、未定元存在定理。
定理1. (未定元存在定理) ,使得中含有的未定元.
证明: (1) 利用题设的构造一个表示环.
设
规定:
现在中定义加法和乘法:
加法:
乘法: 其中

可以验证: 做成一个环,其中.
(ⅰ) 中的零元为(这理)
(ⅱ) 是变换环( 是可换的)
(ⅲ) 中有单位元()
(2) 利用,构造一个能包含的扩环.
设, 显然

是的一个子环.
现令: 其中
可知, 是一个环同构,即
显然.
????图

由“挖补定理”知,我们可得到