文档介绍：第 22 讲
§7 理想
(Ideals)
本讲的教学目的和要求:与群中不变子群平行的理论研究就是环中的理想(子环).所以,理想在环论中占有特别重要的作用,在后一讲我们会发现,可以利用它做出环的商环.
本讲中要求掌握
1、理想的定义,特别是对”吸收律”的正确理解.
2、,这个事实告诉我们:每个理想中一旦有了环里的单位元,那么它一定是单位理想.
3、生成理想的基本概念以及理想中元素的表示形式.
4、主理想和特殊情况下主理想的结构问题.
5、补充的知识:和理想,积理想以及理想的传递问题.
本讲的重点和难点:本讲的重点是了解理想的基本概念和性质,.

问题的提出
设是环的一个子环,那么由子环的定义知:是加群
的一个子加群,又因是可换群
(是不变子加群)于是得到商群,其中
商群中的加法运算为:
对于已有加法,是否可以再定义一个乘法并使成为环呢?
如果乘法已规定好,那么必有”两个陪集之积仍是陪集”自然地想到:
要使真正成立,应满足什么条件呢?
首先,
所以,成立的关键是:

证明:因对任意的,都有
那么特取
特取
.总是有且

.
:,由此可以在商群中定义一个新的代数运算—乘法,使
(2)理想的定义.
,那么
(ⅰ)当,则称是的一个左理想.
(ⅱ)当,则称是的一个右理想.
(ⅲ)若,都有且,那么称是的一个理想.(理想=左理想+右理想)
,所谓理想就是要: 是的子环,其次. 和,.
于是有

①
②
注意1:容易发现:定义2中的②“
有”,“”.
所以定义2可改为:
①
②
注意2:容易发现,定义2中①的显然是可用②来替代,故理想的定义能省.
定义3. 设,如果满足下面条件,则称是的一个理想,并记
①
②(吸收律)
注意3:由定义3可知,理想必是子环,但子环未必是理想,理想要比子环的条件要强些.
(3)理想的例子.
:—零理想,—,而其它理想(若存在)叫作真理想.
.
,显然是的一个子环,而,不是理想.
(4)一些重要性质.
定理1,任一个除环只有平凡理想(域也是如此)
证明设是除环的非零理想,那么
∵必可逆,由理想的定义.
.于是,.
,则称此环为单环.(∴除环是单环)
,且.

也是的理想,叫做与的和理想.
证明: .
.则
又若则有
由理想的定义知,习惯上称为理想与的和.
类似地,可以考虑:
会是理想吗?事实上,因为它们对加法都未必封闭,:
可以验证,通常称为与的积理想.
,那么.

(1)由子集生成的理想