文档介绍：第 24 讲
§9. 极大理想
( Maximal ideal )
本讲的目的和要求:首先,按照教材中的定义,可知其介绍的理想应该是“极大理想”,而不该是“最大理想”。“最大”和“极大”是两个不同的概念,“最大”是比谁都大的意思,而“极大”是没有谁比它大。“最大”的至多只能有一个,而“极大”却可以有很多。本讲中所以研究极大理想,其目的欲通过极大理想来就得的域的方法。设为环的理想,那么剩余类环未必是域。域是最强的环,:
1、极大理想的概念和判断极大理想的方法.
2、通过极大理想而获得域的方法
3、素理想概念和基本性质.
在中讨论在环论中讨论
任取定一个,比如. 任取定一个环.
36的全部因子: 的全部理想:
, ,
若“”用“??”表示若“”用“???”表示

哈斯图(图论)
称为的“极大”因子:
设,则
为单环为的极大理想.
结论:
(素数)
是36的“极大”因子如何证明?
为单环为的极大理想.
为满射,

为单环为的极大理想

一、极大理想的概念
(1) 定义1. 设是环的一个理想且,如果除了和以外,再也没有能包含的其他理想,那么称是的一个极大理想.
将上定义更“数学化”些,就是:设,,则是极大理想不存在使
欲判断理想是极大理想的一般有二步:
①验证(即但) 一般当,证
②设且,
(2) 例子.
例1. 设素数,那么由生成的理想必是极大理想.
①因为(不整除1)
②设,且,那么说明存在但
换句话说不整除,由的性质使
. ,且
例2. 设有理数环,那么取,
, 则
不是极大理想.
例3. 设为任一个环,则为单环零理想是极大理想.
( 除环的极大理想只有)
例4. 设—偶数环,而,,
①但
②.
但. 令而.
,而,且

二、极大理想的主要定理.
引理1. 设,那么剩余类环为单环是的极大理想.
(这里)
证明: () 已知是的极大理想,,而
为自然同态映射, . 那么由§8知
也是的理想,即.
又注意到,,则
,但且,使,这说明
但是极大理想,于是利用是满同态映射即.
是个单环.
已知是单环,(即只有平凡理想) 今设,且, 须证:
自然同态: ,且由§8定理3.
由且