文档介绍：第 19 讲
§4 无零因子环的特征
(Characteristic of the ring without zero-division)
本讲的教学目的和要求:环中有二个运算,关于加法做成一个加群。所以群中元素自然存在阶的概念。本讲是在元素的阶的基础上,定义了环的“特征”的概念,与教材不同的是:本讲中不只是讨论无零因子环的特征,而是将一般环的特征做了介绍。而将无零因子环的问题只是作为一种特例。这里要求:
1、对一般环的特征的定义要真正弄明的,特别是与中元素的阶的本质区别。
2、无零因子环中的特征的几个性质的证明应该掌握。
3、对讲义中最后的几个练习,需要领会其内涵。
一、环的特征的定义
定义: 设为任意环,如果存在自然数,使得任意都有,那么称这样的最小的自然数为环的特征,记为。如果不存在这样的自然数,则称的为无穷大,记
例1. 整数环中上述定义的自然数不存在. =.
不仅如此,还可知
例2. 在模4的乘余类环中,,当取时,都有而最小的显然是4
明示1: 模剩余类环而言,
注意1:1°如果环的加群中有一个元素的阶为无穷,由的定义知必有.
2° ;最大者是, , .
结论1. 若,那么,加群中每个元素,都有.
明示2. 在此,我们要强调二点:
①确定存在这样的环,使得其加群中既有无穷阶的元素又有有限阶的元素.
设是两个循环加群,又设而.
所以

.
现令并规定中加法“+”:

乘法“·”: 。
可以验证是一个环,但在加群中,
而.
②确定存在这样的环:其加群中每个元的阶都不得有限,但不存在最大的阶.
设,在中规定加法
“+”:,和规定乘法“·”:.
易证是个环,
有限,但阶数可任意大.(不存在最的阶).
结论2. 若是一个非零环,那么.
证明: 设:由附注1的1°知.
设则
由的任意性
知, (若与矛盾).
例3. 若环的特征为素数,且可变换,则有
.
证明: 因是交换环,

显然,当时,我们有(!,)=,又因!!,进而
于是
例4. 若中每个元都有(称为幂等元).
证明: , ,
由于
由的任意性
但
即是可交换的.
二、无零因子环的特征
设是一个无零因子环,那么关于的特征问题就有一种“新的感觉”.
定理1. 设是无零因子环,那么加群中每个非零元的阶都是一致的.
本定理已在§2中论证过.
上述定理告诉我