文档介绍：第 3 讲
§7—9 一一映射,同态及同构(2课时)
(Bijection Homomorphism and Osomorphism )
本讲教学目的和要求:通过了解双射,同态及同构的理论,为后继课程中学习群同态,群同构(群第一、二同构定理)环同态,环同构理论做准备。具体要求:
1、在第一讲的基础上,对各类映射再做深入的研究。
2、充分了解双射(一一映射)的特性以及由此引导出的逆映射。
3、两个代数系统的同态的概念,尤其是同态的满射所具有的性质。
4、掌握同构映射的实质,为以后教学内容奠定基础,
本讲的重点和难点:本讲的重点在于对同态映射定义的了解;由同态满射引导的一系列性质及同构映射本质的掌握。而对双射及自身的逆映射之间的关系学生不易把握,需要认真对待。
本讲的教法和教具:在多媒体教室使用投影仪。在教学活动中安排时间让学生展开讨论。
本讲思考题及作业:本讲思考题将随教学内容而适当地展开。作业布置在本讲结束之后。
一、一一映射
在第1讲中,已对各类映射作了系列性的介绍,这里只对重要的一一映射作重点的讨论。
定义1、设是集合到的映射,且既是单的又是满的,则称是一个一一映射(双射)。
例1:,
其中,可知显然是一个双射。
注意:与偶数集之间存在双射,这表明:与它的一个真子集一样“大”。
思考题:从例1中得知:一个无限集与其的某个真子集一样“大”。这是否可作为无限集都有的特性?即我们是否有如下的结论:为无限集的充要条件是与其某个真子集之间存在双射。
定理1:设是到的一个双射,那么由可诱导出(可确定出)到的一个双射(通常称是的逆映射)
证明:由于是到的双射,那么就中任一个元素,它在中都有逆象,并且这个逆象是唯一的。利用的这一特点,则可确定由到的映射:
,如果,由上述说明,易知是映射。
是满射:,因是映射,再由的定义知,这恰说明,是在下的逆象。由的任意性,知是满射。
是单射:由是满射的逆象分别是,又是单射,
这说明,所以是单射。
综合上述讨论知:是到的一个双射。
结论:设是映射,那么:
(1)是双射可唯一的确定一个逆映射,使得:
是双射;
;
也是的逆映射,且;
(2)是双射同时是有限集或同时是无限集。
二、变换
定义2:设是映射,那么习惯上称为是的变换。
当是双射(单射,满射)时,也称为一一变换(单射变换,满射变换)
例2
三、同态(本目与高代中的线性变换类似)——对代数系统的比较。
例3、设,其中中的代数运算就是中的加法,而中的代数运算为数中的乘法。
定义3:设集合都各有代数运算(称及为代数系统)而是映射,且满足下面等式:
(习惯上称可保持运算)
那么称是到的同态映射。
例4、设与同例3,今设,那么
例5、与同上,而
若均为偶数时为偶数,
(2)若均为奇数时为偶数,
(3)若奇而偶时为奇数,则
(4)若偶而奇时同理知.
由(1)~(4)知,是到的同态映射.
如果同态映射是单射(满射),那么自然称是同态单射(同态满射),而在近世代数中,同态满射是尤其重要的。
定义4:若是到的同态满射,那么为~;习惯上称是的同态象.
定理2. 如果是到的同态满射,那么
若满足结合律也适合结合律;
若满足交换律也适合交换律.
证明:(1)任取是