《近世代数》第 (23).doc

文档介绍：第 23 讲
§8 剩余类环、同态与理想
(Residue class ring、homomorphism and ideal)
剩余类环
在前一讲中已知,当是环的理想时,仅加法而言知,得到加法商群,(在前一讲中,用记号)其中群中运算为其中每个元素都叫做的一个剩余类环且.

(或)
定义的合理性:设且且,,且,∴定义是合理的.
很容易验证是一个半群.
, 是一个环.
,那么称作关于理想的剩余类环(也叫商环或差环),其中中每个元素叫作模的剩余类.
,而使那么
,就是我们已经熟悉的“模剩余类环”—这是整数的剩余类环.

,那么中零元的完全原象
叫作的模,通常记.
,令那么
(ⅰ) (ⅱ)
证明:(ⅰ)对加法而言,显然是一个加群满同态,由第二章知. (即是的不变子群).下面只需证明吸收律也成立即可.
那么同理.
(ⅱ)由第二章知,,其中
下面只需证明:,但
.
.
,.
证明:令,其中,
.
.至于是显然的.
注意::.
与群同态类似,我们可以和到一些与第二章中平行的结果.
,那么
(ⅰ)若是的子环是的子环
(ⅱ)若是的理想且为满射是的理想
(ⅲ)若是的子环是的子环
(ⅳ)若是的理想是的理想
证明: (ⅰ)使所以,于是.(子群)
另外
是的子环.
(ⅱ) ,. 是满射
(ⅲ) ∴, 而知
是的一个子环.
(ⅳ)
,∴.
于是
满足吸收律.
又由(ⅲ).
:除了(ⅱ)需要是满环同态外,其余情况都不需要是满射这个条件.