文档介绍：第 20 讲
§5 子环、环的同态
(Subgroup and homomorphism of ring )
本讲的教学目的和要求:本讲的内容出发点都是跟循群认的思略,环——子环的定义——子环的实例——环同态(尤其是环同态满射)——同态映射(满射)所能传递的代数性质和不能传递的代数性质。本讲中,要求能弄略和领会
环同态与群同态的区别所在。
1、子环的定义,尤其是子整环,子除环和子域的定义。特别一提的是:一个环可能不是什么特殊环,但却是特殊子环。
2、扩环与子环之间在单位元变换性,零因子和环的特殊性方面都具有“转变”的特点,这是与群截然不同的地方。
4、环同态映射(既使是环同态满射)也有一些性质不能传递过去。
5、环同构的应用——挖补定理。
本讲的难点和重点:本讲涉及的内容较多,变化性较大,有一些困难之处。
1、环与子环之间的性质“变异”问题。
2、环同态的保性质问题。
3、挖补定理中“现为的子环”的不同理。
一、子环的定义。例子和简单性质.
定义1. 设是一个环,而是的一个非变子集,如果关于中的加法和乘法, 本身做成一个环,则称为的一个子环,同时称为的扩环.
显然,子环上述的定义显得有些“虚”,
一下,要成为的子环,则要满足环的三条:
为的子加群.
为为子半群(可将结合律传递给).
中满足左,右分配律(可由传递给)
于是得到子环的等价定义:
定义2′. .
(1) 是的子加群.
(2) 对乘法封闭.
那么,称是的子环.
若用数学语言来表达上定义则为
定义2. .
(1) , (或且)
(2) ,
则称S是的子环.
设,可以定义的子整环,子除环和子域:
1、是的子整环(ⅰ).
(ⅱ)是可变换的且
(ⅲ)中没有零因子.
2、是的子除环(ⅰ).
(ⅱ) ,且(或说)
3、是的子域既是的子整环也是的子除环.
例1. 对于环而言,零环和必是的子环——的平凡子环.
例2. 偶数环2是整数环的子环(但不是子整环).
例3. 整系数多项式环是多项式环的子环
注意1: 环本身不是整环,但也许有子整环.
环本身不是除环(域)但可能有子除环(子域).
例4. 设为复数域上的二阶级本环,显然不是整环,不是除环,更不是域( 不可变换,有零因子)但我们发现:
是的子整环.
是的子域.
是的子除环.
例5. 为模6的剩余类环,而不仅是的子环还是的一个子域.(其中,,且)
注意2: 从例5中看到: 中的单位元,(母环)的单位元.
与群的子群的相比,子环具有许多“怪”,我们有
结论1: 设是的子环,那么:
①是幺环, 未必是幺环.
②不是幺环, 可能是幺环.
③是变换环, 未必是变换环.
④不能变换, 可能变换.
⑤与都是幺环,但它们的单位元未必一致.
⑥是整环(除环、域), 未必是整环,(除环、域).
⑦不是整环(除环、域),但可能是整环(除环、域)
注意3: 从上结论可知,在环与子环之间,单位元,变换性,环的类型都可能发生转变,而且以例5中知,零因子也会发生转变:在中是零因子,但在S中是可逆元.
结论2 .设为任意环,令