文档介绍：第 25 讲
§1 0 商域
本讲的目的和要求: 如果是域的一个子环,那么自然满足(ⅰ) 没有零因子,(ⅱ) ,若是满足上述条件的环,能否肯定必是某个域的子环?我们参考大家都熟悉的例子:(整数环)是满足上述条件的环,利用中的元素要“构造”出一个域——,,满足条件的环得商域,则必须要求.
一、主要定理
定理1. 设是无零因子的变换环,则存在一个域,使成为的一个子环。
证: ,则任取一个域且令是的零理想,那么必有,由挖补定理知必存在为环使且为域.
,(工作思路: 由整数环构造出有理数域的方法).
构造一个集合,
.
在中定义关系“~”:~
可以验证“~”是的一个等价关系,事实上,
(ⅰ) ( 可变换) ~
(ⅱ) 若~~.
(ⅲ) 若~ 且~且但中无零因子有消去律~,
由(ⅰ)、(ⅱ)和(ⅲ)知“~”是一个等价关系.
利用上的等价关系“~”,可在中进行分类
则所在的类记为.(仅是记号)
则可作集合,现在中定义运算
加法: ,
乘法: ,
须证上述定义的合理性:
(ⅰ) 当,且,而无零因子,
且,于是
且
(ⅱ) 运算与类的代表元无关. 事实上,
若,
首先, 且

~

即
其次,
即~.
所以

由上分析知,
构成一个域,事实上,
首先, 构成一个加法变换群
①由上(ⅰ)对“+”封闭且
②

③中的零元为,

注意: 则~,
这说明中零元只有一个,但代表元不唯一.
④,那么
有负元.
其次,构成一个半群.
①关于“·”封闭可由知(ⅰ).
②

再其次, 中满足“·”对“+”的分配律.
①

注意2. 在“*”处,用到了性质: ~
由上可知构成了一个环.
最后, 是一个域,即作成一个变换群,事实上
①已是半群. ,
若, 且
由此知, 是半群.
②则是单位元: =
③,则
所以是一个群.
综合上述四个方面讨论知构成一个域.
任取定那么现作一个的子集:
, 并构成对应关系:
其中
显然是映射,且是满射.
如果, 则~
(中有消去律) 是单射.
是双射,

是环同构,即, 显然.
利用挖补定理必存在域,有且
明示: 事实上,有理数域就是通过上述方法,由而做出的.
二、上述中的元素的表现形式.
由上定理的证明过程可知, 中元素的形式较为复杂,即
,
其是如此复杂吗?利用§3的规定P91我科注意到:
, 则在必有逆元(未必在中)
若,那么,这表明: 有可能是由“”的形式组成的..事实上, .
设, 显然, 现,
其中,

必是满射对于, 则使
然而,

由的任意性.
上述讨论恰好证明了下列定理
定理2. 在定理1中包含环的域, 恰好是所有形如
的元组成,即