文档介绍：第 5 讲
第二章群论
§1 群的定义(2课时)
本讲教学目的和要求:群论是代数学中最古老最丰富的分支之一,是近世代数的基础。变换群在几何学中起着重要的作用,而有限群则是伽罗华理论(Galois,E[法] 1811—1832)的基础。
在所有只含一个代数运算的代数体系中,最重要的一个研究对象就是群。而群的等价关系可谓“品种繁多”,本讲只是依教材作一些一般性地介绍,为扩大知识面,这里将适当引入一些如同“半群”和“monoid(幺半群)”这样的基本概念。本讲的教学里要求学生对逆元(左逆元、右逆元),单位元(左单位元、右单位元)和群以及元素的阶要弄清楚,尤其是彼此的联系务必要明白其脉络。教材中定义的群的第一定义和第二定义的区别及关系必须清楚。
本讲的重点和难点:由于本讲知识群论的最基本部分,照理不该出现什么难点,但仍希望能对下列问题引起注意:
半群,幺半群和群的关系.
本讲的论证部分(通过逐渐熟悉这些理论证明,慢慢踏上“近世代数”的学习之路.
群的阶和群中元素的阶.
本讲的教法和教具:使用多媒体教室中的教学设备,并鼓励学生参与教学活动。
说明:本章教学活动中群的代数运算“”习惯上称为乘法(这时群也称为乘群),特殊情况下,“”也叫加法并改用“+”表示(群也随之叫做加群)
半群
定义1. 设为任一非空集合,上定义了一个能封闭的代数运算“”,如果“”满足结合律,即,那么代数体系叫做是一个半群.
注:(1)乘法“”的表达形式上,以后都用“”来替代“”.
(2)在不发生混淆的前提下,半群可简记为.
定义2. 设是一个半群,那么
如果乘法“”满足交换律,则称为可换半群.
如果是有限集,则称为有限半群.
例1、都是半群,“+”和“·”分别是通常的加法和乘法。(但不是有限半群)
同理:,
都是可换半群。
例2. 取为任一数域,为上一切阶方阵组成的集合。若“+”和“·”均为通常矩阵的加法和乘法,那么和均为半群,但为可换半群,而当时,
不是可换半群。
若表示一切非零矩阵(阶)组成的集合,那么和都不是半群了(为什么?)
例3、设,而的全部子集构成的集合,通常叫做的幂集。那么及都是有限可换半群。
二、(幺半群)
定义3、设是一个代数体系,如果中存在一个特殊的元素,具有性质:都有,那么称为的关于“”的单位元(恒等元)。
结论1:若中有单位元,那么单位元一定是唯一的.
证明:设都是的单位元,.
定义4:设是一个半群,如果中含有单位元,那么称为monoid,通常写为.
例4 在例1中,关于“+”都是monoid,因为有单位元0;而关于“·”也是monoid,因为1是单位元。
在例2中,的单位元是0(零矩阵),而的单位元为(单位矩阵).
在例3中,的单位元是,的单位元是.
思考题:能否举出一个是半群但不是monoid的例子?
三、群
定义5:设是一个monoid,如果对,满足:
,那么称是的逆元(正则元)。
结论2:若在monoid中有逆元,那这个逆元是唯一的,所以,可以将的逆元同意记为.
证明:设都是的逆元,那么,于是
.
定义6:(群的定义)设是一个monoid,如果中每个元素都有逆元,则称是一个群。
说的更具体一点:对“”来说是一个群应满足下列四条:
“”在中是封闭的(