文档介绍：1
习题
1. 在方程() 中如果没有假设 g(y) 6= 0, 讨论怎样用分离变量法来求解微分方程.
解: 我们分下面两种情形来讨论方程() 的解. 如果 g(y0) = 0, 则y = y0显然是方程()
的解. 如果 g(y0) 6= 0. 设 y = ϕ(x) 在区间(a, b) 上是满足初始条件ϕ(x0) = y0 的方程() 的解,
则
dϕ(x)
= h(x)g(ϕ(x)), ∀a < x < b.
dx
由解的唯一性可知,在区间(a, b) 上均有 g(ϕ(x)) 6= 0. 事实上,假设有 x˜0 ∈(a, b),使得 g(ϕ(˜x0)) =
0, 则 y = ψ(x) ≡ϕ(˜x0) (常函数) 是方程() 的解. 从而,函数ϕ, ψ都是过点(˜x0, ϕ(˜x0)) 的方程
() 的解. 由解的唯一性, ϕ≡ψ≡ϕ(˜x0). 故
g(y0) = g(ϕ(x0)) = g(ϕ(˜x0)) = 0.
这与假设 g(y0) 6= 0 矛盾.
由 g(ϕ(x)) 6= 0 可得,
1 dϕ(x)
· = h(x).
g(ϕ(x)) dx
故当 x ∈(a, b) 时,
Z Z
x ϕ0(t) x
dt = h(t)dt.
g(ϕ(t))
x0 x0
令τ= ϕ(t), 则
Z Z
ϕ(x) dτ x
dτ= h(t)dt,
g(τ)
ϕ(x0) x0
故 y = ϕ(x) 是满足
Z Z
y dτ x
= h(t)dt, ϕ(x ) = y ,
g(τ) 0 0
y0 x0
的隐函数解.
反之, 若 y = ψ(x) 是由上式所确定的隐函数,则 y = ψ(x) 是过(x0, y0) 的方程()的解. 事
实上, 由上式知,当 a < x < b 时,
Z Z
ψ(x) dτ x
= h(t)dt.
g(τ)
y0 x0
两边关于 x 求导,得到
1 dψ(x)
· = h(x).
g(ψ(x)) dx
即
dψ(x)
= h(x)g(ψ(x)).
dx
所以 y = ψ(x) 是方程() 的解.
2
同理可证由等式
Z Z
y dτ x
= h(t)dt + C,
g(τ)
y0 x0
所确定的函数 y = ψ(x, C) 都是方程() 的解, 其中 C 是任意常数.
因此, 在实际求解中除了求出使 g(y) = 0 的 y 值以外, 只要用 g(y) 除方程() 的两边,然后
求不定积分
Z Z
dy
= h(x)dx,
g(y)
即可.
2. 试用分离变量法求下列一阶微分方程的解.
dy x
(1) dx = − y .
dy
(3) dx = 2xy.
(4) xy(1 + x2)dy = (1 + y2)dx.
√
2
(9) dy = √1−y .
dx 1−x2
dy cos x
(12) dx = 3y2+