第4章典型例题与综合练习.doc

文档介绍：第一章典型例题与综合练习
第一节典型例题
一、偏导数与全微分
例1已知,求,
解:
例2已知,求dz.
解:
;
;
二、复合函数与隐函数微分法
例1已知求.
解:令,则,,,
根据复合函数求导法,得
例2设函数是由方程确定的,求.
解:将函数代入原方程,得
两边同时对求偏导数,视为中间变量,得
整理得,
三、拉格朗日乘数法
例1用拉格朗日乘数法解下面问题:欲围一个面积为60平方米的矩形场地,正面所用材料每米造价10元,、宽各为多少米时,所用材料费最少?
解:设场地长、宽分别为x,y(米),则有xy=60.
所用材料费用(元)
因此,问题是在的条件下,求的最小值.
为此设拉格朗日函数为
求分别对、、的偏导数,并令其为0,得
解此联立方程组得:
即场地长、宽分别为米时,所用材料费最少.
第一节典型例题
一、填空题
,则其定义域为.
.
,则.
,则.
1.;;3.;4.
二、单选题
,则( ).
(A);(B);(C);(D)
,则( ).
(A);(B);(C);(D)
;
三、多选题
,则有(    ).
A)定义域为平面;B)驻点为;
C)定义域为;D)定义域为
,则有(    )
A);B);C);D)
3、下列说法正确的是(   )
A)函数在点具有两个偏导数,则在该点一定存在全微分;
B)函数在点具有全微分,则在该点一定存在两个偏导数;
C)函数在点具有两个连续偏导数,则在该点一定存在全微分;
D)函数在点连续,则在该点一定存在极限.
;;
四、是非题
,则 .( )
,则在一定不可微.( )
3、若,则.( )
1. ×;  2.×;  3.×
五、计算题
,求.
,求.
.
1. ;;
2.;