文档介绍：教案
函数的幂级数展开

1. 教学内容
函数的幂级数(Taylor 级数)展开是数学分析课程中最重要的内容之一,也是整
个分析学中最有力的工具之一。通过讲解将函数展开成幂级数的各种方法,比较
它们的优缺点,使学生在充分认识函数的幂级数展开的重要性的基础上,掌握如
何针对不同的函数选择最简单快捷的方法来展开幂级数,提高学生的计算与运算
能力。

(1)函数的幂级数(Taylor 级数)展开作为一个强有力的数学工具,在分析学
中占有举足轻重的地位。通常的数学分析教科书往往注重于讲解幂级数的理论,
而忽视了讲解将函数展开成幂级数的方法,这样容易造成学生虽然掌握了幂级数
的基本理论,但在实际计算中,即使对于一个很简单的函数,在求它的幂级数展
开时也会感到很困难,这种状况必须加以改变。
(2)求函数的幂级数展开是每个数学工作者时时会碰到的问题,虽然我们有函
数的幂级数展开公式(见下面的(*)式),但一般来说,直接利用(*)式来求
函数的幂级数展开往往很不方便,因此有必要向学生介绍一些方便而实用的幂级
数展开方法,提高学生的实际计算能力,这也是我们在数学分析课程中推行素质
教育的一个不可忽视的环节。

3. 教学安排
首先回顾在讲述幂级数理论时已学过的相关内容:设函数f (x)在 x0 的某个邻域
O(x0, r)中能展开幂级数,则它的幂级数展开就是f (x) 在x0 的Taylor级数:
∞ n)( xf )(
( ) 0 n
* xf )( = ∑− 0 ∈ 0 rxOxxx ).,(,)(
n=0 n!
另外我们已得到了以下一些基本的幂级数展开式:
∞ x n
(1) f (x) = ex = ∑
n=0 n!
32 xxx n
1 x ++++= + …, x ∈(-∞, +∞)。
LL n!!3!2
∞−)1( n
(2) f (x) = sin x = ∑ x n+12
n=0 n + !)12(
xx 53 x n+12
x −+−+−= )1( n + …, x∈(-∞, + ∞)。
!5!3 LL n + )!12(
∞−)1( n
(3) f (x) = cos x = ∑ x 2n
n=0 n !)2(
1
xx 42 x 2n
1 −+−+−= )1( n + …, x∈(-∞, + ∞)。
!4!2 LL n)!2(
∞−)1( n−1
(4) f (x) = arctan x = ∑ x n−12
n=1 n −12
xx 53 x n+12
x −+−+−= )1( n + …, x∈[-1, 1]。
53 LL n +12
∞−)1( n+1
(5) f (x) = ln (1 + x) = ∑ x n
n=1 n
xxx 432 x n
x −++−+−= )1( n−1 + …, x∈(-1, 1]。
432 LL n
(6) fx()=+ (1 x )α,α≠0 是任意实数。
当α是正整数 m 时,
mm −)1(
f (x) = (1 + x