复变函数论6.ppt

文档介绍：辅导课程六
复变函数论
主讲教师:李伟勋
第二节柯西积分定理
1825年柯西(Cauchy)给出了如下的定理,说明单连通区域内的解析函数的复积分与路径无关。它是复变函数的核心定理,常称为柯西积分定理:
定理3·3 设在平面上的单连通区域内解析, 为内任一条围线,则
推论3·4 设在平面上的单连通区域内解析, 为内任一闭曲线(不必是简单的),则
证因为总可以看成区域内有限多条围线衔接而成,再由复积分的基本性质(3)及柯西积分定理3·3即得。
推论3·5 设在平面上的单连通区域内解析,则在内积分与路径无关。即对内任意两点与积分之值
不依赖于内连接起点与终点的曲线。
证设和是内连接起点与终点的任意两条曲线,则正方向曲线与负方向曲线就衔接成内的一条闭曲线C。于是


因而
2 不定积分
与数学分析类似,可引进不定积分的概念,而不定积分是与变上限积分
密切相关的。不同的是对复函数情形,积分可能与路径有关,从而变上限积分可能不是单值函数。而若在单连通区域内解析,则变上限积分是唯一确定的, 是单值函数。
定理3·6 设在单连通区域内解析,则变上限积分在内亦解析,且
证任取。以为心作一个含于内的小圆,考虑小圆的任意点,及
当时的极限。由于积分与路径无
关,则有