复变函数论8.ppt

文档介绍：辅导课程八
复变函数论
主讲教师:李伟勋
第四节    解析函数与调和函数的关系
问题:
如何选择与才能使函数
在区域D内解析。
分析:
设在区域内解析,
得
故有
同理
即在内满足拉普拉斯(Laplace)方程:
这里
是一种运算记号,称为拉普拉斯算子。
定义3·5 如果二元实函数
在区域内有二阶连续偏导数,且满足拉普拉斯方程
则称为区域内的调和函数。
定理3·19 若
在区域内解析,则
必为(共轭)调和函数。
定理3·20 设是在单连通区域内的调和函数,则存在由下式
所确定的函数,使
是内的解析函数。
例3·14 验证
是平面上的调和函数,并求以
为实部的解析函数,使合
解因在平面上任一点

故在平面上为调和函数。
先由条件中的一个得
故

再由条件中的另一个得
故
因此