Chapter2-3函数极限（1）.ppt

文档介绍：§ 函数极限
一、函数极限的定义
1. 自变量趋向无穷大时函数的极限
定义1. 设 f:(a,+)  R (a > 0). 若存在常数A,使得
则称当x+时,f (x)的极限为A, 或f (x)收敛于A,记为
注:①几何意义;
②
③
④上述定义也简称“–X”定义,三者之间的关系是:
命题
例2. 用“–X”定义验证
证 1) > 0 (不妨设<1), 要使|ax0|= ax < ,只需x < loga 即可. 因此取X=  loga >0,当x < X时有|ax0|= ax < a-X < .
2) 因为
例1. 试说明极限
2. 自变量趋向一点时函数的极限
定义2. 设f :
则称当xa时,f (x)的极限为A, 或f (x)收敛于A,记为
注:①上述定义称为函数极限的“”定义;
② f (x)在a点的极限与 f 在a点的值无关(f 甚至可以在a点无定义),f 只要在a点的一个空心邻域有定义即可;
③几何意义;
④适当放大法仍然有效(解关于|x-a|的不等式).
例3. 用“”定义验证
证 1)
⑤类似地,可以证明

定义3. 设f : (a, a+)R.
则称f (x)在a点的右极限为A, 记为
注:①类似可定义f (x)在a点的左极限
②函数在一点的左、右极限统称为单侧极限,它们分别类似于自变量趋向负无穷大和正无穷大时的情形.
③极限和左、右极限的关系如下:
命题
④上述命题常用于判断分段函数在分段点处的极限.
例4. 问函数当x1时是否存在极限?
解因为
所以
从而
故f (x)当x1时不存在极限.