文档介绍：章节题目
第四节函数的极限
内容提要
自变量趋向无穷大时函数的极限
自变量趋向有限值时函数的极限
重点分析
自变量趋向无穷大时函数的极限的定义与几何解释
自变量趋向有限值时函数的极限的定义与几何解释
难点分析
函数极限的定义描述
极限的局部保号性
习题布置
:1(1)(3)、3、6、9
备注
教学内容
一、自变量趋向无穷大时函数的极限
问题:函数在的过程中, 对应函数值无限趋近于确定值A.
通过上面演示实验的观察:
问题: 如何用数学语言刻划函数“无限接近”.

定义1 如果对于任意给定的正数(不论它多么小),总存在着正数,使得对于适合不等式的一切,所对应的函数值都满足不等式,那末常数就叫函数当时的极限,记作
:

:

:
例1
证:

二、自变量趋向有限值时函数的极限
问题:函数在的过程中,对应函数值无限趋近于确定值A.

定义2 如果对于任意给定的正数(不论它多么小),总存在正数,使得对于适合不等式的一切,对应的函数值都满足不等式,那末常数就叫函数当时的极限,记作
:
注意:

:
例2
证:
=0
例3
证:
例4
证:函数在点x=1处没有定义.
,
例5
证:
:
例如,
:
左极限
右极限
例6
证:
左右极限存在但不相等,
三、函数极限的性质

定理若在某个过程下,有极限,则存在过程的一个时刻,在此时刻以后有界.

定理若存在,则极限唯一.

定理(保序性):
推论:
定理(保号性):
推论:
(函数极限与数列极限的关系)
定义
定理
证

例如, , ,

函数极限与数列极限的关系:函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在,且相等.
例7
证:

=1
二者不相等,
四、小结
函数极限的统一定义

过程
时刻
从此时刻以后
过程
时刻
从此时刻以后
思考题
试问函数在处的左、右极限是否存在?当时,的极限是否存在?
思考题解答
左极限存在,
右极限存在,
不存在.