概率论与数理统计第4讲.ppt

文档介绍：概率论与数理统计第4讲
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例2 一个靶子是半径为2米的圆盘, 设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比, 并设射击都能中靶, 以X表示弹着点与圆心的距离. 试求随机变量X的分布函数.解若x<0, 则{Xx}是不可能事件, 于是 F(x)=P{Xx}=0.若0x2, 由题意, P{0Xx}=kx2, k是某一常数, 为了确定k的值, 取x=2, 有P{0X2}=22k. 但已知P{0X2}=1, 故得k=1/4, 即
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于是
若x2, 由题意{Xx}是必然事件, 于是
F(x)=P{Xx}=1.
综上所述, 即得X的分布函数为
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它的图形是一条连续曲线如图所示
x
1
2
3
1/2
1
O
F(x)
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另外, 容易看到本例中的分布函数F(x)对于任意x可以写成形式
这就是说, F(x)是非负函数f(t)在区间(-,x)上的积分, 在这种情况下我们称X为连续型随机变量.
其中
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对照f(x)和F(x):
x
1
2
3
1/2
1
O
F(x)
x
1
2
3
1/2
1
O
f(x)
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§4 连续型随机变量及其概率密度
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如果对于随机变量X的分布函数F(x), 存在非负函数f(x), 使对于任意实数x有
则称X为连续型随机变量, 其中函数f(x)称为X的概率密度函数, 简称概率密度.
连续型随机变量的分布函数是连续函数.
在实际应用中遇到的基本上是离散型或连续型随机变量. 本课程只讨论这两种随机变量.
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由定义知道, 概率密度f(x)具有以下性质:
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由性质2知道介于曲线y=f(x)与Ox轴之间的面积等于1. 由性质3知道X落在区间(x1,x2]的概率P{x1<Xx2}等于区间(x1,x2]上的曲线y=f(x)之下的曲边梯形面积.
O
x
f(x)
1
O
x
f(x)
x1
x2
1
10