文档介绍：概率论与数理统计第7讲
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第四章随机变量的数字特征
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分布函数能够完整地描述随机变量的统计特性. 但在一些实际问题中, 不需要去全面考虑随机变量的变化情况, 而只需知道随机变量的某些特征, 因而并不需要求出它的分布函数. 例如, 在评定某一地区的粮食产量的水平时, 在许多场合只要知道该地区的平均产量; 又如在研究水稻品种优劣时, 时常是关心稻穗的平均稻谷粒数; 再如检查一批棉花的质量时, 即需要注意纤维的平均长度, 又需要注意纤维长度与平均长度的偏离程度. 因此, 与随机变量的有关数值, 能够描述随机变量的重要特征.
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§1 数学期望
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一个例子. 一射手进行打靶练习, 规定射入区域e2得2分, 射入区域e1得1分, 脱靶, 即射入区域e0, 得0分. 射手一次射击得分数X是一个随机变量.
e0
e1
e2
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设X的分布律为 P{X=k}=pk, k=0,1,2.现在射击N次, N是一个很大的数, 也可能是一百, 也可能是一万, 等等. 其中得0分的有a0次, 得1分的有a1次, 得2分的有a2次, a0+a1+a2=N.射击这N次得分总和为a00+a11+a22. 于是平均一次射击的得分数为
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这里, ak/N是事件{X=k}的频率. 当N很大时, ak/N将近似为事件{X=k}的概率pk. 就是说,
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定义设离散型随机变量X的分布律为 P{X=xk}=pk, k=1,2,....若级数
绝对收敛, 则称此级数的和为随机变量X的数学期望, 记为E(X). 即
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设连续型随机变量X的概率密度为f(x), 若积分
绝对收敛, 则称此积分的值为随机变量X的数学期望, 记为E(X). 即
数学期望简称期望, 又称为均值.
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例1 甲乙二人打靶, 所得分数分别记为X1,X2, 它们的分布律分别为
试评定他们成绩的好坏.
解计算X1,X2的数学期望为
E(X1)=00+1+2=(分)
E(X2)=0+1+2=(分)
很明显乙的成绩远不如甲的成绩.
X1
0
1
2
pk
0

X2
0
1
2
pk

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