文档介绍：第二章波函数与Schrödinger方程
。
(a)证明粒子的能量平均值为,
(能量密度)
(b)证明能量守恒公式(能流密度)
证:(a)粒子的能量平均值为(设已归一化)
(1)
(势能平均值) (2)
其中的第一项可化为面积分,而在无穷远处归一化的波函数必然为。因此(3)
结合式(1)、(2)和(3),可知能量密度(4)
且能量平均值。
(b)由(4)式,得
( :几率密度)
(定态波函数,几率密度不随时间改变)
所以。
ödinger方程
(1)
与为实函数。
(a)证明粒子的几率(粒子数)不守恒。
(b)证明粒子在空间体积内的几率随时间的变化为
证:(a)式(1)取复共轭, 得
(2)
(1)-(2),得
(3)
即,
此即几率不守恒的微分表达式。
(b)式(3)对空间体积积分,得
上式右边第一项代表单位时间内粒子经过表面进入体积的几率( ) ,而第二项代表体积中“产生”的几率,这一项表征几率(或粒子数)不守恒。
设和是Schrödinger方程的两个解,证明
。
证: (1)
(2)
取(1)之复共轭: (3)
(3)(2),得

对全空间积分:
,(无穷远边界面上,)
即。
)设一维自由粒子的初态, 求。
解:
设一维自由粒子的初态,求。
提示:利用积分公式
或。
解:作Fourier变换: ,
,
()
(指数配方)
令,则
。
设一维自由粒子的初态为,证明在足够长时间后,
式中是的Fourier变换。
提示:利用。
证:根据平