全国中学生数学竞赛二试模拟训练题(42).doc

文档介绍：加试模拟训练题( 42) 1、设P是△ ABC 内一点, ∠ APB -∠ ACB =∠ APC -∠ ABC ,又设D、E 分别是△ APB 及△ APC AP 、 BD 、 CE 交于一点. 2、设N 为自然数集合, k∈N .如果有一个函数 f:N→N 是严格递增的,且对每个 n∈N ,都有 f(f(n)) = kn .求证,对每一个 n∈N 都有 3、在平面上任画一条所有顶点都是格点的闭折线,并且各节的长相等. 能使这闭折线的节数为奇数?证明你的结论. (莫斯科数学竞赛试题) 4、试确定使 7 2??b ab 整除baba?? 2 的全部正整数对).,(ba 加试模拟训练题( 42) 1、设 P是△ ABC 内一点, ∠ APB -∠ ACB =∠ APC -∠ ABC , 又设 D、 E 分别是△ APB 及△ APC AP 、 BD 、 CE 交于一点. 【证】延长 AP 交 BC 边于 K ,交△ ABC 的外接圆于 F ,连结 BF 、 CF . ∠ APC -∠ ABC =∠ AKC +∠ PCK -∠ ABC =∠ BAK +∠ PCK =∠ BCF +∠ PCK =∠ PCF 同理∠ APB -∠ ACB =∠ PBF 所以由已知∠ PCF =∠ PBF 有正弦定理 PB sin ∠ PFB = PF sin ∠ PBF = PF sin ∠ PCF = PC ∠ PFC 所以 PB PC = sin ∠ PFB sin ∠ PFC = sin ∠ ACB sin ∠ ABC = AB AC 即 PB AB = PC AB 设∠ ABP 的角平分线 BD 交 AP 于M ,则 PM AM = PB AB 同样设 CE 与 AP 交于 N ,则 PN AN = PC AC 由此, PM AM = PN AN ,所以 M与 N 重合,即 AP 、 BD 、 CE 交于一点. 2、设N 为自然数集合, k∈N .如果有一个函数 f:N→N 是严格递增的,且对每个 n∈N ,都有 f(f(n)) = kn .求证,对每一个 n∈N 都有【题说】第五届(1990 年) 全国冬令营选拔赛题 1. 【证】由于 f 严格递增且取整数值,所以 f(n + 1)≥ f(n) +1 从而对 m≥n ,有 f(m) = f(n +m- n)≥ f(n) +m-n 取m= f(n) ,得 f(f(n)) - f(n) ≥ f(n) -n 故 f(n) ≥ 2kn/(k + 1) 3、在平面上任画一条所有顶点都是格点的闭折线,并且各节的长相等. 能使这闭折线的节数为奇数?证明你的结论. (莫斯科数学竞赛试题) 【解】令符合题设条件的闭折线为 A 1A 2…A nA 1 ,则所有顶点 iA 的坐标( iiyx, )符合).,,2,1(,niZyx ii??? iCYX ii,,2,1( 22????为一固定的正整数),其中),,,,,2,1(, 111111yyxxniyyYxxX nniiiiii????????????则由已知有??? ni iX 1,0 ①??? ni iY 1,0 ② 2222 22 21 21nnYXYXYX???????③不妨设 iiYX和中至少有一个为奇数(因为设 mtX i mi,2?是指数最小的,