文档介绍：加试模拟训练题(42)
1、设P是△ABC内一点,∠APB-∠ACB=∠APC-∠ABC,又设D、E分别是△APB及△、BD、CE交于一点.
2、设N为自然数集合,k∈:N→N是严格递增的,且对每个n∈N,都有f(f(n))=,对每一个n∈N都有
3、在平面上任画一条所有顶点都是格点的闭折线,?证明你的结论. (莫斯科数学竞赛试题)
4、试确定使整除的全部正整数对
加试模拟训练题(42)
1、设P是△ABC内一点,∠APB-∠ACB=∠APC-∠ABC,又设D、E分别是△APB及△、BD、CE交于一点.
【证】延长AP交BC边于K,交△ABC的外接圆于F,连结BF、CF.
∠APC-∠ABC=∠AKC+∠PCK-∠ABC
=∠BAK+∠PCK
=∠BCF+∠PCK=∠PCF
同理∠APB-∠ACB=∠PBF
所以由已知∠PCF=∠PBF
有正弦定理
所以
即
设∠ABP的角平分线BD交AP于M,则
同样设CE与AP交于N,则
由此,,所以M与N重合,即AP、BD、CE交于一点.
2、设N为自然数集合,k∈:N→N是严格递增的,且对每个n∈N,都有f(f(n))=,对每一个n∈N都有
【题说】第五届(1990年)全国冬令营选拔赛题1.
【证】由于f严格递增且取整数值,所以f(n+1)≥f(n)+1
从而对m≥n,有f(m)=f(n+m-n)≥f(n)+m-n
取m=f(n),得f(f(n))-f(n)≥f(n)-n
故f(n)≥2kn/(k+1)
3、在平面上任画一条所有顶点都是格点的闭折线,?证明你的结论. (莫斯科数学竞赛试题)
【解】令符合题设条件的闭折线为A1A2…AnA1,则所有顶点的坐标()符
合并且为一固定的正整数),其中
则由已知有
①②