文档介绍：了解函数单调性和导数的关系/能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间/了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件/会用导数求函数的极大值、极小值/会求闭区间上函数的最大值、最小值/会利用导数解决某些实际问题
导数的应用
一般地,设函数y=f(x)在某个区间内有导数,如果在这个区间内y′>0,那么
函数y=f(x)为这个区间内的增函数;如果在这个区间内y′<0,那么函数y=
f(x)为这个区间内的减函数.
一般地,设函数f(x)在点x0附近有定义,如果对x0附近的所有的点,都有f(x)<
f(x0),就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值,记作y极大值=f(x0),x0是极大值点.
一般地,设函数f(x)在x0附近有定义,如果对x0附近的所有的点,都有f(x)>
f(x0).就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值,记作y极小值=f(x0),x0是极小值点.
(x)的极值的步骤
(1)确定函数的定义区间,求导数f′(x).
(2)求方程f′(x)=0的根.
(3)用函数的导数为0的点,顺次将函数的定义区间分成若干个开区间,并列成
表格检查.
f′(x)在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么f(x)在这个根处取
得极大值;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值;如果左右不
改变符号,那么f(x)在这个根处无极值.
(1)求f(x)在(a,b)内的极值;
(2)将f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较得出函数f(x)在[a,b]上的最值.
(x),若满足(x-1)f′(x)≥0,则必有( )
(0)+f(2)<2f(1) (0)+f(2)≤2f(1)
(0)+f(2)≥2f(1) (0)+f(2)>2f(1)
解析:(x-1)f′(x)≥0, 或
①函数y=f(x)在(-∞,1]上单调递减,f(0)>f(1);在[1,+∞)上单调递增,
f(2)>f(1),
∴f(0)+f(2)>2f(1).
②函数y=f(x)可为常数函数,f(0)+f(2)=2f(1).故选C项.
答案:C
(x)=x3-3x2+2在区间[-1,1]上的最大值是( )
A.-2
解析:f′(x)=3x2-6x,令f′(x)=0,得x=0,x=2(舍去).
比较f(-1),f(0),f(1)的大小知f(x)max=f(0)=2,选C项.
答案:C
(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f′(x)在(a,b)内的图象如图所示,
则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点( )
解析:f′(x)>0单调递增,f(x)′<′(x)=0→f′(x)=0→f′(x)>0.
由题中图象可知只有1个极小值点.
答案:A
4.(2010·开封高三月考)函数f(x)=x3+bx2+cx+d的大致
图象如右图,则等于( )
解析:由题图可知f(-1)=f(0)=f(2)=0,
解得:b=-1,c=-2,d=0,则f′(x)=3x2-2x-2,
则
答案:C
此类题主要考查求函数的导数、单调性的判定以及单调性的应用,是高考考查的重点,考题可能以小题形式出现,=f(x)在区间(a,b)上可导,则f′(x)>0是函数y=f(x)在(a,b)上递增的充分条件,并非充要条件.
【例1】设a为实数,函数f(x)=x3-ax2+(a2-1)x在(-∞,0)和(1,+∞)都是增
函数,求a的取值范围.
解答:f′(x)=3x2-2ax+(a2-1),其判别式Δ=4a2-12a2+12=12-8a2.
(1)若Δ=12-8a2=0,即a=± .
当x∈(-∞, )或x∈( ,+∞)时,
f′(x)>0,f(x)在(-∞,+∞)为增函数.
所以a=± .
(2)若Δ=12-8a2<0,恒有f′(x)>0,f(x)在(-∞,+∞)为增函数.