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北师大版高中数学选修2-2第三章《导数应用》
导数在实际问题中的应用(一)
一、教学目标:1、知识与技能:⑴让学生掌握在实际生活中问题的求解方法;⑵会利用导数求解最值。2、过程与方法:通过分析具体实例,经历由实际问题抽象为数学问题的过程。3、情感、态度与价值观:让学生感悟由具体到抽象,由特殊到一般的思想方法
二、教学重点:函数建模过程
教学难点:函数建模过程
三、教学方法:探究归纳,讲练结合
四、教学过程
1、实际问题中的应用.
在日常生活、生产和科研中,常常会遇到求函数的
最大(小),然后利用导数的方法求最值是求解这类问题常见的解题思路.
在建立目标函数时,一定要注意确定函数的定义域.
在实际问题中,有时会遇到函数在区间内只有一个点使的情形,如果函数在这个点有极大(小)值,
那么不与端点值比较,也可以知道这就是最大(小)值.
这里所说的也适用于开区间或无穷区间.
满足上述情况的函数我们称之为“单峰函数”.
3、求最大(最小)值应用题的一般方法
(1)分析实际问题中各量之间的关系,把实际问题化为数学问题,建立函数关系式,这是关键一步。
(2)确定函数定义域,并求出极值点。
(3)比较各极值与定义域端点函数的大小, 结合实际,确定最值或最值点。
2、实际应用问题的表现形式,常常不是以纯数学模式反映出来。
首先,通过审题,认识问题的背景,抽象出问题的实质。
其次,建立相应的数学模型, 将应用问题转化为数学问题,再解。
60
60
解:设箱底边长为x cm,
箱子容积为V=x2 h
例1 在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形,再把它的边沿虚线折起,做成一个无盖的方底箱子,箱底边长为多少时,箱子容积最大?最大容积是多少?
则箱高
x
x
V ´=60x-3x²/2
令V ´=0,得x=40, x=0
(舍去)
得V (40)=16000
答:当箱底边长为x=40时,箱子容积最大,最大值为16000cm3
在实际问题中,如果函数 f ( x )在某区间内
只有一个x0 使f ´(x0)=0,而且从实际问题本身又可
以知道函数在这点有极大(小)值,那么不与端点
比较, f ( x0 )就是所求的最大值或最小值.
(所说区间的也适用于开区间或无穷区间)
h
R
例2. 要生产一批带盖的圆柱形铁桶,要求每个铁桶的容积为定值V,怎样设计桶的底面半径才能使材料最省?此时高与底面半径比为多少?
解:设桶底面半径为R,
因为S(R)只有一个极值,所以它是最小值。
答:当罐高与底的直径想等时,所用材料最省。
=100+4q,
价格p与产量q的函数关系式为求产量q为何值
时,利润L最大。
分析:利润L等于收入R减去成本C,
利润L与产量q的函数关系式,再用导数求最大利润.
求得唯一的极值点
因为L只有一个极值点,所以它是最大值.
答:产量为84时,利润L最大.
x
y
练习1: 如图,在二次函数f(x)=4x-x2的图象与x轴所
围成的图形中有一个内接矩形ABCD,求这个矩形的最大面积.
解:设B(x,0)(0<x<2), 则
A(x, 4x-x2).
从而|AB|= 4x-x2,|BC|=2(2-x).故矩形ABCD的面积
为:S(x)=|AB||BC|=2x3-12x2+16x(0<x<2).
令,得
所以当时,
因此当点B为时,矩形的最大面积是