文档介绍：导数与函数的最大(小)值
12/1/2017
一、教学目标:1、知识与技能:会求函数的最大值与最小值。2、过程与方法:通过具体实例的分析,会利用导数求函数的最值。3、情感、态度与价值观:让学生感悟由具体到抽象,由特殊到一般的思想方法。
二、教学重点:函数最大值与最小值的求法教学难点:函数最大值与最小值的求法
三、教学方法:探究归纳,讲练结合
四、教学过程:
12/1/2017
必要条件
函数极值与导数
函数极值的定义
函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.
函数极值的求法
求极值的步骤:,,,
(一)、知识回顾:
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x
y
o
a
b
y=f(x)
x
x<b
x=b
x>b
f ’(x)
+
0
-
f(x)
单调
递增
极大值
单调
递减
f(a)
f(b)
x
x<a
x=a
x>a
f ’(x)
-
0
+
f(x)
单调
递减
极小值
单调
递增
极大值点和极小值点
统称为极值点
极大值和极小值
统称为极值
函数极值的判定定理
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结合课本练习思考
极大值一定比极小值大吗?
极值是函数的局部性概念
结论:不一定
极大值
极小值
极小值
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导数的应用之三:求函数最值.
在某些问题中,往往关心的是函数在整个定义域区间上,哪个值最大或最小的问题,这就是我们通常所说的最值问题.
(二)、新课引入
问:最大值与最小值可能在何处取得?
怎样求最大值与最小值?
观察极值与最值的关系:
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函数的最值
x
X2
o
a
X3
b
x1
y
观察右边一个定义在区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象,你能找出函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值、最小值吗?
发现图中____________是极小值,_________是极大值,在区间上的函数的最大值是______,最小值是_______。
f(x1)、f(x3)
f(x2)
f(b)
f(x3)
问题在于如果在没有给出函数图象的情况下,怎样才能判断出f(x3)是最小值,而f(b)是最大值呢?
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在闭区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,则它必有最大值和最小值.
x
y
0
a
b
x1
x2
x3
x4
f(a)
f(x3)
f(b)
f(x1)
f(x2)
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(2)将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个最小值
求f(x)在闭区间[a,b]上的最值的步骤:
(1)求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值)
(三)、新课探析:
求函数的最值时,应注意以下几点:
(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题,是一个局部概
念,而函数的最值是对整个定义域而言,是在整体范围
内讨论问题,是一个整体性的概念.
(2)闭区间[a,b](a,b)内
的可导函数不一定有最值,但若有唯一的极值,则此极
值必是函数的最值.
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(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个,而函数的极值则可能不止一个,也可能没有极值,并且极大值(极小值)不一定就是最大值(最小值),但除端点外在区间内部的最大值(或最小值),则一定是极大值(或极小值).
(4)如果函数不在闭区间[a,b]上可导,则在确定函数的最值时,不仅比较该函数各导数为零的点与端点处的值,还要比较函数在定义域内各不可导的点处的值.
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