文档介绍：第五讲资本资产定价理论
第一节资本资产定价模型
与资产组合理论一样,资本资产定价模型(Capital Asset Pricing Model,CAPM)也是对现实世界的抽象化研究,因而它也是建立在一系列严格的假设条件之上。由于CAPM模型是以资产组合理论为基础,因此它除接受了马尔科维茨的全部假设条件以外,还另外附加了一些自己的假设条件,主要有:
⑴投资者具有同质预期,即市场上的所有投资者对资产的评价和对经济形势的看法都是一致的,他们对资产收益和收益概率分布的看法也是一致的。
⑵存在无风险资产,投资者可以以无风险利率无限制地借入或者贷出资金。
,金融市场的证券组合选择
设金融市场上有一种无风险证券,其收益率为;种有风险资产(即有种股票可以投资),投资的收益仍然用表示:
式中,“”表示矩阵的转置。
设投资组合为。是在无风险证券上的投资份额在存在无风险资产和允许卖空的假设条件下,不存在预算限制,投资者可以通过卖空无风险资产来购买有风险的证券。
,显然:
这是一个包含无风险证券的投资组合,其期望收益为:
若给定收益为,则上式变为:
风险资产组合的方差为加入无风险资产以后对资产组合的方差并没有影响,因此其方差等于第四讲中我们介绍的风险资产组合的方差。
:
投资者所要求的最优资产组合仍然必须满足下面两个条件之一:
⑴在预期收益水平确定的情况下,即,求可以使风险达到最小的,即最小;
⑵在风险水平确定的情况下,即,求可以使收益达到最大的,即达到最大。
这两个线性规划问题是等价的,下面我们对条件⑴进行求解。将条件⑴用数学语言表达出来就是:
它满足约束条件:
拉格朗日函数为:
注:“”的读音为“gama”。
对求偏导数:
移项:
因为
所以
将代人式,有:
(说明:为了表明所求的证券组合与有关,故在上式中用表示。)
此时,资产组合的方差为:
其中
令
则
在平面上,式可以表示为两条直线。但是,显然向下倾斜的那条直线是无效的,因为理性的投资者不可能选择在同等风险条件下收益较小的组合。
式可以写成直线:
这表示:如果金融市场存在无风险资产,那么在证券组合投资收益为的条件下,若风险最小的投资组合的风险为,则满足方程,其直线如图5-1所示。由于在这个条件下存在最小方差的证券组合,因而如果满足式,则它对应的证券组合就是最小方差证券组合。
在给定投资目标、,结论是其方差及证券组合的收益必须满足一直线方程。无风险资产和风险资产之间的组合有很多种。现在,我们继续讨论当金融市场存在无风险资产时如何进行投资组合的选择。为了说明这个问题,我们先引入下面的定义:
定义5-1:称为夏普比(Sharpe ratio),.(如图5-2、图5-3所示)
,它是点与双曲线
上的点连线的斜率(如图5-3所示)。
随着该点在双曲线上不断上升,这个数值也越来越大,这表明投资者承担单位风险时获得的收益也越来越大。容易看出,当直线过点并与有效前沿相切时,夏普比达到最大值。理性的投资者必然会选择单位风险回报最大的投资组合。因而理性人在投资时,一部分资金会投放在无风险债券上(回报为),一部分资金会投放在过点并与有效前沿曲线相切的直线所代表的资产组合上。也就是说,在市场线上选择的投资组合是最佳的(在这条直线上每一点的斜率都一样。与连接点和有效前沿曲线上其他点的连线相比,它的斜率最大,即夏普比最大)。
下面,我们将说明直线就是与有效前沿相切并过点的直线。
在给定证券组合收益并满足条件的情况下,若投资者将全部资产都投资在风险证券中,求此时的最优投资证券组合。
考虑的情况,此时有,这时风险资产组合的收益,两边同时减去,得:
因此,所求问题为:
它满足条件:
并与时的限制条件式是一样的。
故由式可知:
两边同乘以
又因为,故
所以
此时有
命题5-1 在直线上。
证明:将式代入式的右边得
与式比较,,即在式所表示的直线上。
命题5-2 满足式:
即证券组合是在给定收益为的情况下,满足的最小方差投资证券组合(说明该投资组合在有效前沿上)。
证明:将代入上式的右边得
即满足方程,这表明该证券组合在有效前沿上。
综合命题5-1、命题5-2可知,既在直线上,又在有效前沿上。
命题5-3 式所表示的直线与有效前沿相切于点。
证明:由于在前面我们已经证明既在所表示的直线上,又在有效前沿上。因此,我们只要证明该直线