考研概率论复习.docx

文档介绍：二维随机变量及概率分布
一、二维随机变量的联合概率分布表示
(一).二维随机变量的联合概率分布函数
.概念
设(X,Y)为一个二维随机变量，x,y为任两个实数，则称
F(x,y) P(X x,Y y)为(X,Y)的联合概率分布函数
若(X,Y)〜f(x,y),则 X 〜fX(x) f(x,y)dy,Y 〜fy(y)
三、两个随机变量的独立性的判断
1 .若X,Y的联合概率分布函数为F (x, y),边缘概率分布函数分别为Fx (x),
Fy (y),则X ,Y相互独立的充要条件为：F(x, y) =Fx(x) Fy (y)。
.若X,Y的联合概率分布列为P(X xi,Yyj) p0 , i, j 1,2,
边缘概率分布列为
X 〜P(X 为) PjPi? , i 1,2,
Y 〜P(Yyj) PijP?j, j1,2,
则X,Y相互独立的充要条件为：
P(X xi,Yyj)P(Xxi)P(Yyj),i,j 1,2,
.若X,Y的联合概率密度函数为f(x, y),边缘概率密度函数分别为fx(x),
f (x, y)= fx (x) fY(y)。
fY(y)，则x,y相互独立的充要条件为:

.二维均匀分布U(D)
(X,Y)〜U(D),(X,Y)的概率密度函数为f(x,y) 工， (x, y) D
Sd
.二维正态分布N( 1，2，12, I，)
⑴.(X,Y)〜N( i，2，12，22，),(X,Y)的概率密度函数为 f (x,y)
1
2,1
2 exP{
1 2(1
W(」)2
2) 1
2 (-—1)(y—2) U—2)2]}
1 2 2
(2).右(X,Y)〜N( 1，2，12，22，)，则 X 〜N( 1, 12) , YIN( 2, 2)

(X,Y)的联合概率密度函数为
x
f(x, y)
e 0 y x
0 其它
求(1).条件概率密度函数fY|X(yx)，(2).条件概率P(X 1Y 1)
解：(1). X的密度函数为
X 〜fx(x)
f(x,y)dy ,
当 x 0, fx(x) f(x,y)dy= 0dy 0,
x
当 x 0时，fX (x)f (x,y)dy oe xdy xe x,
_ x
所以X〜fx(x)
xe x 0
0x0
所以，当x 0时，fY|X (yx)
f (x,y)
fx(x)
1 八
-0 y x x
0 x 0
(2). Y的密度函数为Y-fY(y)
f (x, y)dx
111 x
x ,
P(X 1Y 1) P(X 1，Y 1) dxf3 y)dy0dx 0e dy
P(Y 1)fY(y)dy°e ydy
x,y
(X,Y)的联合概率密度函数为
f(x, y)
求(1). A, (2).条件概率密度函数fYX(yx)
解：
(1). X的密度函数为
22
X 〜fX (x)f (x, y)dy A e dy
A ex (y x) dy Ae x e (y x) dy A . e x
又 fX (x)dx
Ale x dx a4~ e x dx A 1,
(2).
fYiX(yx)
f (x, y)
fX (x)
2x2 2xy y2 e
A「e x「
1 x2 2xy y2
-e
3}上的均
匀分布，试求随机变量U
X Y的概率密度f (u)
解：据题意，(X,Y)〜f(x, y)
1 1 x, y 3
4 0
0 其它
六实例 {(x,y)1 x,y
先求U X Y的概率分布函数F(u)。显然0 U 2,所以
.u0,F(u)P(Uu)P(XYu)0,
.u2,F(u)P(Uu)P(XYu)1
(3). 0 u 2, F(u)
P(U u) P(X Y u)
f(x,y)dxdy
|x y u
♦1
-[4 (2 u)2],所以 f(u) 2(2 ⑴0 u 2
40 其它
1

1,2 ,且满足 P(X〔X2 0) 1,
一 、j 、一10
〜0

求 P(X1 X2)o
解：先求(X1,X2)的联合概率分布列
\X1 X2^^
-1
0
1
-1

0

1




因 P(X1X2 0) 1