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高三数学模拟试题
　　2013高三数学模拟试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题只有一个选项是正确）
若，试确定函数的单调区间；
（2）若，且对于任意，恒成立，试确定实数的取值范围；
（3）设函数，求证：．
（本小题共14分）
若对于正整数k，g（k）表示k的最大奇数因数，例如g(3)=3，g(10)=5．设
.
(1)求g(6)，g(20)的值；
(2)求S1，S2，S3的值；
(3)求数列{Sn}的通项公式．
参考答案
一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分)．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
D
B
A
C
B
C
B
A
A
二、填空题（本大题共5小题，每题5分，共25分）

8 12． 13． 14． 15．
三、解答题（本大题共6小题，共75分）
16．解：(1)

由，得：.
所以f(x)的单调递增区间为
(2)因为，所以．
因为，所以．所以
因为，，所以.
因为a>b，，，.所以．
17．解：（1）记“厂家任取4件产品检验，其中至少有1件是合格品”为事件A
用对立事件A来算，有
（2）可能的取值为
，，
记“商家任取2件产品检验，都合格”为事件B，则商家拒收这批产品的概率
所以商家拒收这批产品的概率为
18．解：（1）当AB⊥x轴时，点A、B关于x轴对称，所以m＝0，直线AB的方程为
x=1，从而点A的坐标为（1，）或（1，－）.
因为点A在抛物线上，所以，即.
此时C2的焦点坐标为（，0），该焦点不在直线AB上.
（2）解法一　当C2的焦点在AB时，由（Ⅰ）知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为.
由消去y得. ……①
设A、B的坐标分别为（x1,y1）, （x2,y2）,
则x1,x2是方程①的两根，x1＋x2＝.
因为AB既是过C1的右焦点的弦，又是过C2的焦点的弦，
A
y
B
O
x
所以，且
.
从而.
所以，即.
解得.
因为C2的焦点在直线上，所以.
即.
当时，直线AB的方程为；
当时，直线AB的方程为.
解法二　当C2的焦点在AB时，由（Ⅰ）知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程
为.
由消去y得. 　　　　　　　 ……①
因为C2的焦点在直线上，
所以，①有.
即. ……②
设A、B的坐标分别为（x1,y1）, （x2,y2）,
则x1,x2是方程②的两根，x1＋x2＝.
由消去y得. 　　……③
由于x1,x2也是方程③的两根，所以x1＋x2＝.
从而＝. 解得.
因为C2的焦点在直线上，所以.
即.
当时，直线AB的方程为；
当时，直线AB的方程为.
19．（1）∵
∴，又∵
∴
（2）在平面内，过作，建立空间直角坐标系（如图）
由题意有，设，
则
由直线与直线所成的解为，得
，即，解得
∴，设平面的一个法向量为，
则，取，得
平面的法向量取为
设与所成的角为，则
显然，二面角的平面角为锐角，故二面角的余弦值为
（3）取平面的法向量取为，则点A到平面的距离
∵，∴
20．（1）由得，所以．
由得，故的单调递增区间是，
由得，故的单调递减区间是．
（2）由可知是偶函数．
于是对任意成立等价于对任意成立．
由得．
①当时，．
此时在上单调递增．
故，符合题意．
②当时，．
当变化时的变化情况如下表：
单调递减
极小值
单调递增
由此可得，在上，．
依题意，，又．
综合①，②得，实数的取值范围是．
（3），
，
，

由此得，
故．
21．解：(1). …………2分
(2)；
；
.
…………6分
(3)由(1)(2)对，m