文档介绍：第二章导数与微分
第一节导数
一、引入
二、导数的定义
三、导数的物理意义和几何意义
四、函数可导性与连续性的关系
一、引入
例2-1 作直线运动的物体,已知其路程函数为
S=S( t ) 。求该物体 t 时刻的瞬时速度 v( t )。
解物体从 t 时刻到 t + t 时刻所经过的路程为
S=S( t +t ) -S( t )
此时段的平均速度为
若
存在,则此极限就是物体 t 时刻的瞬时速度 v( t ) 。
例2-2 求曲线 y=f (x) 在点 P ( x0 , f ( x0 ) ) 处的切线
的斜率。
解如图 2-1,在曲线上
P 点的附近任取一点
Q ( x0 +x , f ( x0 +x ) ) ,
PQ 为割线。当x 0 时,
Q 点沿曲线逐渐接近 P 点,
从而割线 PQ 逐渐接近切线位置 PT。
设 PT 的倾斜角为,则
x
y
o

P
Q
x0
x0+x
T
y=f (x)
图 2-1
二、导数的定义
定义2-1 设函数 y=f (x) 在区间(a , b) 内有定义,
x0∈(a , b) 。当自变量在 x0 处取得增量x ,相应的函
数取得增量y , y= f ( x0 +x) - f ( x0 ) 。如果当自变量
的增量x0 时,函数的增量y 与x 之比的极限
存在,则称此极限为函数 y=f (x) 在 x0 点的导数
(derivative),记为
;或;或
即
若函数 y=f (x) 在 x0 导数存在,则称 y=f (x) 在 x0 处
可导。

若函数 y=f (x) 在开区间(a , b) 内的每一点都可导, 则
称函数 y=f (x) 在(a, b) 内可导。

当函数 y=f (x) 在开区间(a , b) 内可导时,任意的
x∈(a , b) 都有对应的导数值, 因此在开区间(a , b) 内
定义了一个新函数,称之为函数 y=f (x) 的导函数
(derived function),简称为导数,记为
;或;或;或
如果函数 y=f (x) 在开区间(a , b) 内可导,且
与
都存在,则称函数 y=f (x) 在闭区间[a , b] 上可导。
以上左右极限分别称为函数 f (x) 在点 b 的左导数和在
点 a 的右导数,分别记为。
求函数导数的一般步骤:
(1)求增量: y= f ( x +x) - f ( x )
(2)计算比值:
(3)求极限:
例2-3 求线性函数 y=ax+b 在 x 点的导数。
解(1) y= [a(x+x )+b]-(ax+b)=a x

(2)
(3)
所以
(ax+b)=a
例2-4 函数, 求 f (9) , f (1/4) , f (x0)
解
(1)
(2)
(3)
所以
f ´(9)=1/6, f ´(1/4)=1 ,
例2-5 研究函数 f (x)= x 在 x=0 点的可导性。
解
所以, 不存在;
即函数 y= x 在 x=0 处不可导。