文档介绍：2 矩阵
矩阵是学好线性代数这门课程的根底，而对于初学者来讲，对于矩阵的理解是尤为的重要；许多学生在最初的学****过程中感觉矩阵很难，这也是因为对矩阵所表示的内涵模糊的缘故。其实当我们把矩阵与我们的实际生产经济活动相联系的时候，我们才会发现的准对角阵
〔i〕，假设A1, A2可逆，那么
〔ii〕，假设A1, A2可逆，那么
〔iii〕是
且
〔iv〕，那么
经典题型解析
矩阵的运算
1、假设
那么c=
解：由得=0, =4
而-1+2b+6=-1得b=-3, =-7
从而 c
提示：对于最根本的矩阵的四那么运算我们一定要烂熟于心。
2、设A为三阶矩阵，且那么
解：
易错提示：此题是道特别根本的有关矩阵根本性质的类型题，考生易犯的错误就是对矩阵进行行列式计算时，把的阶数给忘记计算。
3、设A为33矩阵，B为44，且那么
解：
易错题示：此题同上，但还应值得我们注意的是，在计算时是我们常犯的错误。
4、设那么
解：

易错提示：此题关键是要求我们注意到是矩阵，但却是数，
倘假设先计算然后再求，那么计算式相当繁琐的。
5、设，求.
解：
方法一：数学归纳法.
因为，，，
一般的，设，
那么.
所以，有归纳法知。
方法二：因为A是初等矩阵，，相当于对单位矩阵，施行了n次初等列变换〔把第一列加到第三列〕，故。
方法三：利用对角矩阵和主对角线上为零的上三角矩阵幂的特点来进行计算。
令，
其中，
又因为，所以。
故有 .
提示：除上述方法外，此题还可以与后面的特征值联系起来计算，方法也算不少，读者只需选择一种或几种适合自己的且快捷简便的方法为宜。
6、设矩阵，求。
解：A的特征多项式，
那么有根1，-1〔二重〕。
假设设，那么所求，
而，
由代数学中的整除性质，，
解之得：。
所以，，从而。
点评：此题可谓是到综合性极强的一道题，对于解这种类型题时，读者除需要掌握牢固扎实的根底知识外，还应具备真正能够做到各知识点前后相连，融会贯穿的能力。所以，我们平时学****是应该养成多动脑，勤思考，常总结得好****惯。
7、设，求。
解：由分块矩阵知，其中，
∴
又
∴

而的秩为1，有
从而
矩阵的逆〔逆矩阵〕及其运用
1、设A为三阶方阵，为A的伴随矩阵，，计算
解：因为，所以。
易错提示：切记将2提出时应为，其中k为该矩阵的阶数。
2、矩阵A满足关系式，求。
解：因为
，

思路提示：遇到有关此类问题时，我们首先应想到的是把所求问题的因式给分解出来，那么问题就会变得容易多了。
3、设n阶可逆矩阵，为n维列向量〔i=1,2,…n〕,
为n维非零列向量，且与均正交，
那么可逆。
解：要证明矩阵B可逆，我们这里只需要证明向量组线性无关即可。
为此，我们令：
，
两边同乘以，即
，
，〔i=1,2,…n-1〕且
我们可以得出，那么即得：，
又A是可逆矩阵，
线性无关。
从而我们有=0，即证明了线性无关，
同时也就说明了矩阵是可逆矩阵。
思路提示：对于这某矩阵时可逆矩阵的方法也算不少，这里我们不妨预先前所熟悉的线性方程组来建立联系。这就要求我们对与矩阵与线性方程组建的关系要特别的熟悉与掌握，这对于今后解线性方程组也会只很有帮助的。事实上，对于mn矩阵A，我们可以把其每一列看作一列向量〔记为〕，那么A=〔〕，这就很形象的转化为线性方程组问题了，而A=〔〕可逆向量组线性无关。
4、设A为n阶实矩阵，假设A+为正定矩阵，那么A为可逆矩阵。
证明：用反证法
假设A为不可逆矩阵，
那么n维列向量，使得，
而对于
，
从而我们知存在，使得，
但这与A+为正定矩阵相矛盾，从而假设不成立，
这也就说明了A为可逆矩阵。
点评：对于一些证明题，当我们感觉无处下手之时，不妨尝试一下反证法，很多时候