文档介绍：Chapter 3 复变函数级数
Abstract:简介解析函数的性质,尤其是解析函数最重要的表达形式之一的幂级数的重要性质。重点讨论将解析函数展开为Taylor级数(常点附近)和Laurent级数(孤立奇点附近)以及单值函数孤立奇点的分类。
引论中讲过,力求(sum出来),但有些物理上的表示(例如解方程和方程的解等)相当复杂,人们不得不反过来做级数展开。大部分情况下级数的前一、二项就解决问题了(不但对收敛快者是如此,而对发散者尤要cut off!)
级数复习:
常数项级数:
函数项级数:,几何级数;
,指数级数;
三角函数级数。
一般级数:……
解析项级数:,。
问题:序列,问,Key:divergence 发散.
,且,,这是log发散。而收敛, convergence,且绝对收敛。称为Riemann zeta function. 在C平面有无穷多个奇点。:,而
发散(调和级数,和谐级数?)。
发散. 但是呢?
此几何级数收敛,收敛。再问一致收敛呢?要有学说,而非[See (4) below].
级数的基本概念与性质(Basic concepts and properties of series)
复数序列
定义:按照一定顺序排列的复数,,称为复数序列,记为。
一个复数序列完全等价于两个实数序列。
聚点:给定复数序列,若存在复数z,对于,恒有无穷多个满足,则称z为的一个聚点(或极限点)。一个序列可以有不止一个聚点,例如序列就有两个聚点,。
有界序列和无界序列:给定复数序列,若存在一个正数,对所有的都有,称为序列有界;否则称为序列无界。
极限:给定复数序列,如果对,自然数,使得只要,就有,则称收敛于,记为。
一个序列的极限必然是这个序列的聚点,而且是唯一的聚点。
显然,如果写成,,
例如,对于点列,有
(5)序列极限存在(序列收敛)的Cauchy充要条件:任给,存在正整数,使对于任意正整数,有.
一个无界序列不可能是收敛的。
2. 复数项级数
复数项级数的收敛:一个复数级数,,如果它的部分和所构成的序列收敛,即有极限,则称级数收敛,而序列的极限称为级数的和;如果,级数不存在(无穷或不定),则称发散。
注:,因此,一个复数级数完全等价于两个实数级数。若,都收敛,则收敛;若,至少有一个发散,则发散。
收敛的充要条件(Cauchy收敛判据):任给,存在正整数,使对于任意正整数,有.
特别是,令,则得到级数收敛的必要条件:.
绝对收敛:如果收敛,则称绝对收敛。
绝对收敛的性质:
绝对收敛的级数一定收敛(因为: ),反之不定。
绝对收敛的级数可以改换求和次序。特别是,可以把一个收敛级数拆成几个子级数,每个子级数仍绝对收敛。
两个绝对收敛级数的积仍然绝对收敛。
例如,,是绝对收敛的,则[注意最后一步的及的取值范围]
由于是一个实数级数,而且是一个正项级数,因此高等数学中任何一种正项级数的收敛判别法都可用来判别一个复数项级数是否绝对收敛。
下面列出了一些常用的收敛判别法
比较判别法:若,而收敛,则收敛;
若,而发散,则发散;
比值判别法(D’Alembert判别法):若,则收敛;
若,则发散;
若, 可能收敛,也可能发散;
根值判别法(Cauchy判别法):若,则收敛;
若,则发散;
若, 可能收敛,也可能发散;
Gauss判别法:如果(至少当n充分大时) ,则当时,收敛;而当时,发散。
3. 复变函数级数(设为域D中的连续函数)
函数级数的收敛:如果对于D中的一点,级数收敛,则称级数在点收敛;反之,发散,则称在点发散。
如果级数在D中的每一点都收敛,则称级数在D内收敛。其和函数是D内的单值函数。
一致收敛:如果对于任意给定的,存在一个与无关的,使当时,对于任意正整数,对D中每一点均成立,则称级数
在D内一致收敛。
一致收敛级数的性质:
一致收敛的概念总是和一定区域联系在一起的,级数的一致收敛性质是它在一定区域内的性质。
若在区域D内满足,与无关,且收敛,则绝对且一致收敛。(Weierstrass的M判别法)
连续性:如果在D内连续,级数在D内一致收敛,则其和函数也在D内连续。
这个性质告诉我们,如果级数的每一项都是连续函数,则一致连续级数可以逐项求极限(或者说,“求极限”与“求级数和”可以交换次序。即,
.
逐项求积分:设C是区域D内一条分段光滑曲线,如果在C上连续, 则对于C上一致收敛级数可以逐项积分,
逐项求导数(Weierstrass定理):设在中单值解析,在中一致收敛, 则此级数之和是D内的解析函数,可逐项求导,求导后的级数在D中的任意闭区域中一致收敛。
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