文档介绍：第二章解析函数
§ 解析函数的概念
1 复变函数的导数
定义:
存在, 则就说 f (z)在 z0可导, 此极限值就称为 f (z)在 z0的导数,记作
应该注意:上述定义中的方式是任意的。
容易证明:
可导可微;
可导连续。
如果 f (z) 在区域D内处处可导, 就说 f (z) 在D内可导.
例1 求 f (z) = z2 的导数。
[解] 因为
所以 f '(z) = 2z .
复变函数的导数具有与实函数同样的求导法则。
(即f (z) = z2 在复平面处处可导。)
例2 问 f (z) = x +2yi 是否可导?
[解] 这里
所以 f (z) = x + 2yi 的导数不存在.
(即 f (z) = x + 2yi 在整个复平面处处不可导.)
例3 讨论
的可导性。
解:
所以
在复平面上除原点外处处不可导。
问题:对函数 f (z) = u(x,y) + iv(x,y),
如何判别其可导性?
先来了解什麽是函数的解析性。
2. 解析函数的概念
函数在一点解析
在该点可导。
反之不一定成立。
在区域内:
例如 f (z) = z2
在整个复平面上解析;
仅在原点可导,故在整个复平面上不解析;
f (z) = x +2yi
在整个复平面上不解析。
定义
否则称为奇点。
Z0称为解析点,
例4 讨论函数 f (z)=1/z 的解析性.
解:
故 f (z)=1/z 除 z = 0外处处解析;
z = 0 是它的一个奇点。
解析函数的性质:
(1)   两个解析函数的和、差、积、商仍为解析函数;
(2)   两个解析函数的复合函数仍为解析函数;
(3)  一个解析函数不可能仅在一个点或一条曲线上解析;
所有解析点的集合必为开集。
讨论函数 f (z) = u(x,y) + iv(x,y)的解析(可导)性。
设函数
于是
(可微)
u(x,y) 与 v(x,y) 在该点可微, 并且满足
柯西-黎曼(Cauchy-Riemann)方程。
设 u(x,y) 与 v(x,y) 在点(x,y) 可微,
于是
(x,y0时,ek0, (k=1,2,3,4))
并且满足柯西-黎曼(Cauchy-Riemann)方程。
(提出公因子i)