2013年考研数三真题及答案解析.pdf

文档介绍：该【2013年考研数三真题及答案解析 】是由【小辰GG】上传分享，文档一共【10】页，该文档可以免费在线阅读，需要了解更多关于【2013年考研数三真题及答案解析 】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。凯程考研辅导班,中国最权威的考研辅导机构
2013年考研数三真题及答案解析
一、选择题1—,共32分.、
0时,用o(x)表示比x高阶的无穷小,则下列式子中错误的是()
(A)xo(x2)o(x3)(B)o(x)o(x2)o(x3)
(C)o(x2)o(x2)o(x2)(D)o(x)o(x2)o(x2)
【详解】由高阶无穷小的定义可知(A)(B)(C)都是正确的,对于(D)可找出反例,例
如当x0时f(x)x2x3o(x),g(x)x3o(x2),但f(x)g(x)o(x)而不是
o(x2)故应该选(D).
xx1
(x)的可去间断点的个数为()
x(x1)lnx
(A)0(B)1(C)2(D)3
【详解】当xlnx0时,xx1exlnx1~xlnx,
xx1xlnx
limf(x)limlim1,所以x0是函数f(x)的可去间断点.
x0x0x(x1)lnxx0xlnx
xx1xlnx1
limf(x)limlim,所以x1是函数f(x)的可去间断点.
x1x1x(x1)lnxx02xlnx2
xx1xlnx
limf(x)limlim,所以所以x1不是函数f(x)的
x1x1x(x1)lnxx1(x1)lnx
可去间断点.
故应该选(C).
(x,y)|x2y21的第k象限的部分,记I(yx)dxdy,则
kk
D
k
()
(A)I0(B)I0(C)I0(D)I0
1234
【详解】由极坐标系下二重积分的计算可知
凯程考研辅导班,中国最权威的考研辅导机构
k
k11
I(yx)dxdy2d(sincos)r2dr2(sinsin)d
kk1
(k1)03
D22
k
k
1
sincos|2
k1
3
2
22
所以II0,I,I,应该选(B).
132343
a为正项数列,则下列选择项正确的是()
n

(A)若aa,则(1)n1a收敛;
nn1n
n1

(B)若(1)n1a收敛,则aa;
nnn1
n1

(C)若1,使limnpa存在;
nn
n
n1

(D)若存在常数P1,使limnpa存在,则a收敛.
nn
n
n1
【详解】由正项级数的比较审敛法,可知选项(D)正确,故应选(D).
此小题的(A)(B)选项想考查的交错级数收敛的莱布尼兹条件,对于选项(A),但少一
条件lima0,,不是必要条件,
n
n
选项(B)也不正确,反例自己去构造.
,B,C均为n阶矩阵,若AB=C,且B可逆,则
(A)矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价.
(B)矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价.
(C)矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价.
(D)矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价.
【详解】把矩阵A,C列分块如下:A,,,,C,,,,由于AB=C,
12n12n
则可知bbb(i1,2,,n),得到矩阵C的列向量组可用矩阵A的
ii11i22inn
,即ACB1,同可知矩阵理A的列向量组可用矩阵
C的列向量组线性表示,(B).
1a1200

aba与矩阵0b0相似的充分必要条件是

1a1000
凯程考研辅导班,中国最权威的考研辅导机构
(A)a0,b2(B)a0,b为任意常数
(C)a2,b0(D)a2,b为任意常数
2001a1200

【详解】注意矩阵0b0是对角矩阵,所以矩阵A=aba与矩阵0b0相

0001a1000
似的充分必要条件是两个矩阵的特征值对应相等.
1a1
EAaba(2(b2)2b2a2)
1a1
2
从而可知2b2a2b,即a0,b为任意常数,故选择(B).
,X,X是随机变量,且X~N(0,1),X~N(0,22),X~N(5,32),
123123
PP2X2,则
ii
(A)PPP(B)PPP
123213
(C)PPP(D)PPP
321132
X
【详解】若X~N(,2),则~N(0,1)

X
P2(2)1,PP2X2P1212(1)1,
1222
25X52577
PP2X2P3(1)1)
3333333
,
7
PP13(1)23(1)0.
323
故选择(A).
,且X和Y的概率分布分别为
X0123P
P1/21/41/81/8
Y-101
P1/31/31/3
凯程考研辅导班,中国最权威的考研辅导机构
则PXY2()
1111
(A)(B)(C)(D)
12862
【详解】
1111
PXY2PX1,Y1PX2,Y0PX3,Y1
1224246
,故选择(C).
二、填空题(本题共6小题,每小题4分,
答案填在题中横线上)
n
f(x)和yx2x在点1,0处有切线,则limnf.
nn2
【详解】由条件可知f10,f'(1)
2
f1f(1)
nn2
limnflim2f'(1)2
n22n2
nn
n22n
z
zx,y是由方程zyxxy确定,则|.
x(1,2)
【详解】
设Fx,y,z(zy)xxy,则
Fx,y,z(zy)xlzy)y,F(x,ny,z)x(zy)x1,(
xz
z
当x1,y2时,z0,所以|22ln2.
x(1,2)
lnx
11.dx.
1(1x)2
【详解】
lnx1lnx1x
dxlnxd|dxln|ln2
11
1(1x)211x1x1x(1x)x1
1
yy0的通解为.
4
11
【详解】方程的特征方程为r0,两个特征根分别为,所以方程通
4122
凯程考研辅导班,中国最权威的考研辅导机构
x
解为y(CCx)e2,其中C,C为任意常数.
1212
a是三阶非零矩阵,A为其行列式,A为元素a的代数余子式,且满足
ijijij
Aa0(i,j1,2,3),则A=.
ijij
【详解】由条件Aa0(i,j1,2,3)可知AA*T0,其中A*为A的伴随矩阵,从
ijij
而可知
A*A*TA31A,所以A可能为1或0.
n,r(A)n

但由结论r(A*)1,r(A)n1可知,AA*T0可知r(A)r(A*),伴随矩阵的秩只

0,r(A)n1
能为3,所以A1.

~N(0,1),则EXe2X.
【详解】

EXe2X
x2(x2)22(x2)2
1x2e
xe2xe2dxe2dx(x22)e2dx
222
2t2t2
e
te2dt2e2dte2E(X)2e22e2.

2
所以为2e2.
三、解答题
15.(本题满分10分)
当x0时,1cosxcos2xcos3x与axn是等价无穷小,求常数a,n.
【分析】主要是考查x0时常见函数的马克劳林展开式.
1
【详解】当x0时,cxo1sx2o(x2),
2
1
cos2x1(2x)2o(x2)12x2o(x2),
2
19
cos3x1(3x)2o(x2)1x2o(x2),
22
所以
凯程考研辅导班,中国最权威的考研辅导机构
19
1cosxcos2xcos3x1(1x2o(x2))(12x2o(x2))(1x2o(x2))7x2o(x2)
22
,
由于1cosxcos2xcos3x与axn是等价无穷小,所以a7,n2.
16.(本题满分10分)
设D是由曲线y3x,直线xa(a0)及x轴所转成的平面图形,V,V分别是D绕x
xy
轴和y轴旋转一周所形成的立体的体积,若10VV,求a的值.
xy
【详解】由微元法可知
25
aa3
Vy2dxx3dxa3;
x
005
47
aa6
V2xf(x)dx2x3dxa3;
y
007
由条件10VV,知a77.
xy
17.(本题满分10分)
设平面区域D是由曲线x3y,y3x,xy8所围成,求x2dxdy.
D
【详解】
23x68x416
x2dxdyx2dxdyx2dxdyx2dxdyx2dxdy.
xx
023
DDD33
12
18.(本题满分10分)
Q
设生产某产品的固定成本为6000元,可变成本为20元/件,价格函数为P60,(P
1000
是单价,单位:元,Q是销量,单位:件),已知产销平衡,求:
(1)该的边际利润.
(2)当P=50时的边际利润,并解释其经济意义.
(3)使得利润最大的定价P.
【详解】
Q2
(1)设利润为y,则yPQ(600020Q)40Q6000,
1000
Q
边际利润为y'40.
500
(2)当P=50时,Q=10000,边际利润为20.
经济意义为:当P=50时,销量每增加一个,利润增加20.
20000
(3)令y'0,得Q20000,P6040.
10000
凯程考研辅导班,中国最权威的考研辅导机构
19.(本题满分10分)
设函数fx在[0,)上可导,f00,且limf(x)2,证明
x
(1)存在a0,使得fa1;
1
(2)对(1)中的a,存在(0,a),使得f'().
a
【详解】
35
证明(1)由于limf(x)2,所以存在X0,当xX时,有f(x),
x22
又由于fx在[0,)上连续,且f00,由介值定理,存在a0,使得fa1;
(2)函数fx在[0,a]上可导,由拉格朗日中值定理,
f(a)f(0)1
存在(0,a),使得f'().
aa
20.(本题满分11分)
1a01
设A,B,问当a,b为何值时,存在矩阵C,使得ACCAB,并求出
101b
所有矩阵C.
【详解】
xx
显然由ACCAB可知,如果C存在,12,
xx
34
xaxaxxax01
则ACCAB变形为23124,
xxxxax1b
13423
xax0
23
axxax1
即得到线性方程组124,要使C存在,此线性方程组必须有解,于是对方
xxx1
134
xaxb
23
程组的增广矩阵进行初等行变换如下
01a0010111

a10a101a00
A|b,
1011100001a


01a0b0000b
所以,当a1,b0时,线性方程组有解,即存在矩阵C,使得ACCAB.
凯程考研辅导班,中国最权威的考研辅导机构
10111

01100
此时,A|b,
00000


00000
x111
1
x010
所以方程组的通解为x2CC,也就是满足ACCAB的矩阵
x01120
3
x001
4
C为
1CCC
C121,其中C,C为任意常数.
CC12
12
21.(本题满分11分)
设二次型f(x,x,x)2(axaxax)2(bxbxbx)
1231**********
ab
11
a,b.
22
ab
33
(1)证明二次型f对应的矩阵为2TT;
(2)若,正交且为单位向量,证明f在正交变换下的标准形为2y2y2.
12
【详解】证明:(1)
f(x,x,x)2(axaxax)2(bxbxbx)2
1231**********
axbx
1111
2x,x,xaa,a,axx,x,xbb,b,bx
1232123212321232
axbx
3333
xx
11
x,x,x2Txx,x,xTx
12321232
xx
33
x
1
x,x,x2TTx
1232
x
3
所以二次型f对应的矩阵为2TT.
凯程考研辅导班,中国最权威的考研辅导机构
证明(2)设A2TT,由于1,T0

则A2TT22T2,所以为矩阵对应特征值2的特征
1
向量;

A2TT2T2,所以为矩阵对应特征值1的特征向
2
量;
而矩阵A的秩r(A)r(2TT)r(2T)r(T)2,所以0也是矩阵的
3
一个特征值.
故f在正交变换下的标准形为2y2y2.
12
22.(本题满分11分)
3x2,0x1
设X,Y是二维随机变量,X的边缘概率密度为f(x),在给定
X0,其他
3y2
,0yx,
Xx(0x1)的条件下,Y的条件概率密度为f(y/x)x3.
Y
X
0,其他
(1)求X,Y的联合概率密度fx,y;
(2)Y的的边缘概率密度f(y).
Y
【详解】(1)X,Y的联合概率密度fx,y:
9y2
,0x1,0yx
fx,yf(y/x)f(x)x
YX
X
0,其他
(2)Y的的边缘概率密度f(y):
Y
2
19y
2
dx9ylny,0y1
f(y)f(x,y)dxyx
Y

0,其他
23.(本题满分11分)
2

ex,x0
设总体X的概率密度为f(x;)x3,其中为为未知参数且大于零,

0,其他
凯程考研辅导班,中国最权威的考研辅导机构
XX,X为来自总体X的简单随机样本.
12n
(1)求的矩估计量;
(2)求的极大似然估计量.
【详解】(1)先求出总体的数学期望E(X)
2

E(X)xf(x)dxexdx,
0x2
1n1n
令E(X)XX,得的矩估计量XX.
nini
n1i1
(2)当x0(i1,2,n)时,似然函数为
i
n1
n22n

xx
L()eiei1i,
33
xn
i1ix
i
i1
n1n
取对数,lnL()2nln3lnx,
xi
i1ii1
dlnL()2nn1
令0,得0,
dx
i1i
解得的极大似然估计量为.