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双曲线知识点总结例题
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双曲线知识点总结例题
(二)双曲线知识点及坚固复****br/>双曲线的定义
假如平面内一个动点到两定点距离之差的绝对值等于正的常数(小于两定点间的距离),那么动点的轨迹是双曲线
若一个动点到两定点距离之差等于一个常数,常数的绝对值小于两定点间的距离,那么动点的轨迹是双曲线的一支
F1,F2为两定点,P为一动点,(1)若||PF1|-|PF2||=2a
0<2a<|F1F2|则动点P的轨迹是
②2a=|F1F2|则动点P的轨迹是
③2a=0则动点P的轨迹是
(2)若|PF1|-|PF2|=2a
0<2a<|F1F2|则动点P的轨迹是
②2a=|F1F2|则动点P的轨迹是
③2a=0则动点P的轨迹是
双曲线的标准方程
双曲线的性质
(1)焦点在x轴上的双曲线
标准方程
x,y的范围
极点
实半轴的长
离心率e=
的张口越
焦点
范围
虚半轴的长
e
对称轴
焦距
越大双曲线的张口越
对称中心
e越小双曲线
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|PF2|=
准线
(F
渐近线焦半径公式|PF1|=
1,F2分别为双曲线的左右两焦点,P为椭圆上的
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一点)
(1)焦点在
y轴上的双曲线
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标准方程
x,y的范围
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双曲线知识点总结例题
极点
实半轴的长
离心率e=
焦点
范围
虚半轴的长
e
对称轴
焦距
越大双曲线的张口越
对称中心
e越小双曲线
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的张口越
准线渐近线焦半径公式|PF1|=
|PF2|=(F1,F2分别为双曲线的下上两焦点,P为椭
圆上的一点)
:特色①实轴与虚轴长相等②渐近线相互垂直
③离心率为
共轭双曲线:以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线叫原双曲线的共轭双曲线
特色①有共同的渐近线②四焦点共圆
双曲线的共轭双曲线是
双曲线系
(1)共焦点的双曲线的方程为(0<k<c2,c为半焦距)
(2)共渐近线的双曲线的方程为
例题
在运用双曲线的定义时,应特别注意定义中的条件“差的绝对值”,弄清是指整条双曲线,仍是双曲线的哪一支
考点1、双曲线定义
例1、已知动圆M与圆C1:(x+4)2+y2=2外切,与圆C2:(x-4)2+y2=2内切,求动圆圆心M的轨迹方程
【例2】若椭圆与双曲线有同样的焦点F1,
F2,P是两条曲线的一个交点,则|PF1|·|PF2|的值是()
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【例3】已知双曲线与点M(5,3),F为右焦点,若双曲线上有一点P,使
最小,则P点的坐标为
考点2、求双曲线的方程
求双曲线标准方程的方法
,依据题目的条件,若知足定义,求出相应
a、b、c即可求得方程.
(2)待定系数法求双曲线方程的常用方法
①与双曲线
x2
y2
=1
有共同渐近线的双曲线方程可表示为
x2
-
y2
=t(t≠0);
-
a2
b2
a2
b2
②若双曲线的渐近线方程是
b
x2
y2
y=±ax,则双曲线的方程可表示为
a2-b2=t(t≠0);
x2
y2
=1共焦点的方程可表示为
x2
y2
2
2
③与双曲线
a2
b2
a2-k
-
b2+k
-
=1(-b
<k<a);
④过两个已知点的双曲线的标准方程可表示为
x2
y2
m+n=1(mn<0);
x2
y2
x2
y2
⑤与椭圆a2
+b2=1(a>b>0)有共同焦点的双曲线方程可表示为
a2-λ+b2-λ
1(b2<λ<a2).
例4、求以下条件下的双曲线的标准方程.
x2
y2
=1有共同的渐近线,且过点(-3,2);
(1)与双曲线9-
16
与双曲线
x2
y2
=1有公共焦点,且过点(3,2).
-
(2)
16
4
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,若x2的系数是正的,那么焦点在x轴上;假如y2的系数是正的,那么焦点在y轴上,且关于双曲线,a不用然大于b.
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,可设双曲线方程为:mx2+ny2=1(mn<0),
以防范分类讨论.
考点3、双曲线的几何性质
双曲线的几何性质与代数中的方程、平面几何的知识联系亲密,解题时要深刻理解确立双曲
线的形状、大小的几个主要特色量,如a、b、c、e的几何意义及它们的互有关系,充分利用双曲线的渐近线方程,简化解题过程
x2y2
例5、(12分)双曲线C:a2-b2=1(a>0,b>0)的右极点为A,x轴上有一点Q(2a,0),
APPQ
若C上存在一点P,使→·→=0,求此双曲线离心率的取值范围.
x2y2
例6、【活学活用】3.(2012北京期末检测)若双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的两个焦点分别为F1、F2,P为双曲线上一点,且|PF1|=3|PF2|,则该双曲线的离心率e的取值范围是________.
【例7】直线过双曲线的右焦点,斜率k=
上,则双曲线的离心率e的范围是()
><e<<e<>
【例8】设为双曲线上的一点,是该双曲线的
两个焦点,若,则的面积为()A.
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【评注】解题中发现△PF1F2是直角三角形,是早先
未曾想到的吧?但是,这一美好的结果不是每个考生都能
临场发现的.
将最美的结果隐蔽在解题过程之中以鉴识考生的思想
能力,这正是命题人的高妙之处.
渐近线——双曲线与直线相约天涯
关于二次曲线,.
双曲线的左、右两支都无量凑近其渐近线而又不可以与其订交,这一独有的几何性质不只很好地界定了
,所以这一性质被宽泛应用于有关解题之中.
【例9】过点(1,3)且渐近线为的双曲线方程是
【评注】在双曲线中,,可
以简短地设待求双曲线为,而不用考虑其实、虚轴的地点.
共轭双曲线——虚、实易位的孪生弟兄
将双曲线的实、虚轴互易,所得双曲线方程为:.这两个双曲线就是相互
;它们又有共同的渐近线而为渐近线所界定的范围不一
样;它们的很多巧妙性质在解题中都有宽泛的应用.
【例10】两共轭双曲线的离心率分别为,证明:=1.
设而不求——与借舟弃舟同理
:
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【例11】双曲线的一弦中点为(2,1),则此弦所在的直线方程为()
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“设而不求”详细含义是:在解题中我们希望获得某种结果而必然经过某个步骤,只需有可能,可以用虚设取代而不用真地去求它.
但是,“设而不求”,:
【例12】在双曲线上,能否存在被点M(1,1)均分的弦?假如存在,求弦所在的直
线方程;如不存在,请说明原因.
假如不问情由地利用“设而不求”的手段,会有以下解法:
练****br/>1.(2011安徽高考)双曲线
2x2-y2=8的实轴长是( )
x2
y2
C:x2+y2
2.(2011山东高考)已知双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线均和圆
-6x+5=0相切,且双曲线的右焦点为圆
C的圆心,则该双曲线的方程为
(
)
x2
y2
x2
y2
x2
y2
x2
y2
-4=1
-5=1
-6=1
-3=1
x2
-y2=1
右支(在第一象限内)上的随意一点,A1
3.(2012嘉兴测试)如图,P是双曲线
4
,
A2分别是左、右极点,
O是坐标原点,直线
PA1,PO,PA2的斜率分别为
k1,k2,k3,则斜
率之积k12
3
)
kk的取值范围是(
A.(0,1)
1
1
1
B.(0,8)
C.(0,4)
D.(0,2)
4.(金榜展望)在平面直角坐标系xOy中,已知△ABC的极点A(-5,0)和C(5,0),极点B
x2
y2
sinB
为(
)
在双曲线16-9=1上,则|sinA-sinC|
3
2
5
4
x2
y2
的右支上一点,M、N分别是圆(x+5)2+y2=4
和(x-5)2+y2
9-16=1
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1上的点,则|PM|-|PN|的最大值为( )
6.(2012南宁模拟)已知点F1,F2分别是双曲线的两个焦点,
P为该曲线上一点,若△PF1F2为等腰直角三角形,则该双曲线
的离心率为( )
A.+1
B.+1
x2
y2
m的取值范围是________.
-m+|m|-3=
8.(2012大连测试)在双曲线
4x2-y2=1的两条渐近线上分别取点
A和B,使得|OA|·|OB
=15,此中O为双曲线的中心,则
AB中点的轨迹方程是________.
x2
y2
b2+1
-b2=1(a>0,b>0)的离心率是2,则
3a的最小值是________.
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10(2012肇庆模拟
方程是x-2y=0.
)已知中心在原点的双曲线
C的一个焦点是
F1(-3,0),一条渐近线的
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(1)求双曲线
C的方程;
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(2)若以
k(k≠0)为斜率的直线
l与双曲线
C订交于两个不同样的点
M,N,且线段
MN
的
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垂直均分线与两坐标轴围成的三角形的面积为
81
2,求
k的取值范围.
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11.(文用)已知中心在原点的双曲线
(1)求双曲线C的方程;
C的右焦点为
(2,0),右极点为
(,0).
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(2)若直线:
y=kx+m(k≠0,m≠0)与双曲线
C交于不同样的两点
M、N,且线段
MN
的垂
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直均分线过点A(0,-1),务实数m的取值范围.
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12已知中心在原点,极点
A1、A2在x轴上,离心率
e=
的双曲线过点
P(6,6)
(1)求双曲线方程
(2)
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动直线l经过△A1PA2的重心
证明你的结论
G,与双曲线交于不同样的两点
M、N,问
能否存在直线
l,使G均分线段
MN,
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,问过点
A(1,1)能否作直线
,使
与双曲线交于
P、Q两点,而且
A为
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线段
PQ的中点?若存在,求出直线
的方程,若不存在,说明原因。
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14已知点
N(1,2),过点
N的直线交双曲线
于A、B两点,且
(1)
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求直线AB的方程;(2)若过
N的直线
l交双曲线于
C、D两点,且
,那么
A、B、C、
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D四点能否共圆?为何?
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(二)双曲线知识点及坚固复****br/>双曲线的定义
假如平面内一个动点到两定点距离之差的绝对值等于正的常数(小于两定点间的距离),那么动点的轨迹是双曲线
若一个动点到两定点距离之差等于一个常数,常数的绝对值小于两定点间的距离,那么动点的轨迹是双曲线的一支
F1,F2为两定点,P为一动点,(1)若||PF1|-|PF2||=2a
0<2a<|F1F2|则动点P的轨迹是
②2a=|F1F2|则动点P的轨迹是
③2a=0则动点P的轨迹是
(2)若|PF1|-|PF2|=2a
0<2a<|F1F2|则动点P的轨迹是
②2a=|F1F2|则动点P的轨迹是
③2a=0则动点P的轨迹是
双曲线的标准方程
双曲线的性质
(1)焦点在x轴上的双曲线
标准方程
x,y的范围
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极点
实半轴的长
离心率e=
的张口越
焦点
范围
虚半轴的长
e
对称轴
焦距
越大双曲线的张口越
对称中心
e越小双曲线
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|PF2|=
准线
(F
渐近线焦半径公式|PF1|=
1,F2分别为双曲线的左右两焦点,P为椭圆上的
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一点)
(2)焦点在
y轴上的双曲线
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标准方程
x,y的范围
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极点
焦点
对称轴
对称中心
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实半轴的长
虚半轴的长
焦距
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