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几何概型
[自我认知]:
,____成比例,则称这样的概
率模型为几何概率模型,简称为几何概型.
,事件A的概率的计算公式为__________________.
,但古典概型要求基本事件
有_____,几何概型要求基本事件有_______.
,某人睡完觉后想知道时间就打开收音机调到该广
播电台,问这人等待的时间不超过5min的概率是______.
,在车站停1min,则乘客到达站台立即乘上车的概率为_.
[0,3]上任取一点,其坐标小于1的概率是_____________.
%的面积,%的面积,现在太空有一颗陨石正朝着地球的方
向飞来,,落在我国
国土内的概率为________.()
[课后练****br/>5
(0,1)内任取两个数,则这两个数的和小于的概率是()
6
341617
.
552525
,在圆上其他位置任取一点B,连接A、B两点,它是一条弦,它的长度
大于等于半径长度的概率为()
1231
.
2324
9,7,5,3,1,0,2,4,6,8x0yx,y
=,在平面直角坐标系中,点的坐标
xA,yAx,y
,点正好在第二象限的概率是()
1112
.
3455
,拉直后在任意位置剪断,那么剪得两段的长都不小于1m的
概率有多大?
钻探,钻到油层面的概率是多少?
:.
,假定这个玻璃球在沙子中的任何一个位置是等可
能的,.
、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面,并约定先到者应等候另一个人一刻钟,
过时即可离去,求两人能会面的概率.
、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头,它们在一昼夜内到达码头的时刻是等可
能的,如果甲船停泊时间为1h,乙船停泊时间为2h,求它们中的任意一艘都不需要等待码
头空出的概率.
构成事件A的区域长度(面积或体积)
PA
、面积或体积;2.;
试验的全部所构成的区域长度(面积或体积)
111
、有限个、无限多个;%,
6113
:设事件A={剪得两段的长都不小于1m},
把绳子三等分,当剪断位置处在中间一段时,,
1
所以由几何概率公式得:P(A)=.
3
:记“钻到油层面”为事件则
贮藏石油的大陆架面积80
P(A)=
所有海域大陆架面积10000
答:.
:记事件A为“取1立方米沙子中含有玻璃球”,
则事件A发生对应的沙子体积与原沙子体积之比为1:10.
∵玻璃球在沙子中任何位置等可能,:.
∴由几何概型概率计算公式得P(A)=1.
10
:以x和y分别表示甲、乙两人到达约会地点的时间,
则两人能会面的充要条件是|xy|
建立直角坐标系如图所示,则(x,y)的所有可能结
果是边长60的正方形,而可能会面的时间由图中的
阴影部分所表示,这是一个几何概型问题.
:设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为x与y,
A为两艘船都不需要码头空出,
x,y|x0,24yx1xy2
,要满足A,则或
∴A=x,y|yx1或xy2,x0,24
11
(241)22422
∴PA.
AS242576
60
15
1560
14题图
几何概型巩固练****br/>重难点:掌握几何概型中概率的计算公式并能将实际问题转化为几何概型,并正确应用几何
概型的概率计算公式解决问题.
考纲要求:①了解几何概型的意义,并能正确应用几何概型的概率计算公式解决问题.
②了解随机数的意义,能运用模拟方法估计概率.
经典例题:如图,AOB60,OA2,OB5,在线段OB上任取一点C,
试求:(1)AOC为钝角三角形的概率;
A
(2)AOC为锐角三角形的概率.
ODCEB:.
当堂练****br/>,,
,那么质量在[,](g)范围内的概率是()
,并以线段AP为边作正方形,这个正方形的面积介于
25cm2与49cm2之间的概率为()
3124
.
10555
,记转盘甲得到的数为x,转盘乙得到的数为y,构成数对
(x,y),则所有数对(x,y)中满足xy=4的概率为()
1231
.
1616164
1212
甲乙
4343
,是由一个圆、一个三角形和一个长方形构成的组合体,现用红、蓝两种颜色为其
涂色,每个图形只能涂一种颜色,则三个形状颜色不全相同的概率为()
3311
.
4848
,先到者等候另一人20分钟,
概率为()
1457
.
39910
6如图,某人向圆内投镖,如果他每次都投入圆内,那么他投中正方形区域的概率为()
2121
.
33
,有一圆盘其中的阴影部分的圆心角为45,若向圆内投镖,如果某人每次都投入
圆内,那么他投中阴影部分的概率为()
1113
.
8424:.
,假定里面有一个细菌,现从中抽取20ml的蒸馏水,则抽到细菌的
概率为()
1111
.
10020105
,已知该港口每天涨潮的时间为早晨5:00至
7:00和下午5:00至6:00,则该船在一昼夜内可以进港的概率是()
1111
[0,10]中任意取一个数,则它与4之和大于10的概率是()
1232
,则L与线段BC相交的概率为()
1111
,现从中随机取出2ml水样放到显微镜下观察,则发现草履
虫的概率是()
,把一枚半径r<a的硬币任意掷在这个平面上,求
硬币不与任何一条平行线相碰的概率(c)
rrarar
a2aa2a
.
,
为.
,则点P与A的距离不小于1且与CPD为锐角的
概率是__________________.
5
(0,1)中随机地取出两个数,则两数之和小于的概率是.
6
,送报人可能在早上6:30~7:30之间把报纸送到你家,你父亲
离开家去上班的时间为早上7:00~8:00之间,你父亲在离开家前能拿到报纸的概率为
_______.
.
(1)在靶子1中,飞镖投到区域A、B、C的概率是多少?
(2)在靶子1中,飞镖投在区域A或B中的概率是多少?在靶子2中,飞镖没有投在区域C
中的概率是多少?
:.
CB
AB
A
C
,水池为长30m,宽20m的长方形,求此刻海豚嘴尖离岸边不
超过2m的概率.
,求这三段可以构成三角形的概率.
1
,x1,x2和y0所围成的图形的面积.
x
§
经典例题:解:如图,由平面几何知识:
当ADOB时,OD1;
当OAAE时,OE4,BE1.
(1)当且仅当点C在线段OD或BE上时,AOC为钝角三角形
ODEB11
记"AOC为钝角三角形"为事件M,则P(M)
OB5
即.
(2)当且仅当点C在线段DE上时,AOC为锐角三角,
DE3
记"AOC为锐角三角"为事件N,则P(N)
OB5
即.
当堂练****br/>1
;;;;;;;;;;;;;14.;15.
11:.
4
arcsin
525
;16.;%;
72
2
123
18.(1)都是;(2);。
334
:由已知可得,海豚的活动范围在26×16㎡的区域外,
2616
所以海豚嘴尖离岸边不超过2m的概率为P1。
3020
:设构成三角形的事件为A,长度为10的线段被分成三段的长度分别为x,y,
10-(x+y),
0x100x10
则0y10,即0y10.
010(xy)100xy10
y
由一个三角形两边之和大于第三边,有10
xy10(xy),即5xy10.
又由三角形两边之差小于第三边,有5
x5,即0x5,同理0y5.
O510x
0x5
∴构造三角形的条件为0y5.
5xy10
∴满足条件的点P(x,y)组成的图形是如图所示中的阴影区域(不包括区域的边界).
1251
S=·52=,S=·102=50.
阴影22OAB2
S1
∴P(A)=阴影=.
S4
OMN
:(1)利用计算器或计算机产生两组0到1区间上的随机数,aRAND,
1
bRAND;
(2)进行平移变换:aa1;(其中a,b分别为随机点的横坐标和纵坐标)
1
(3)数出落在阴影内的点数N,用几何概型公式计算阴影部分的面积.
1
例如,做1000次试验,即N1000,模拟得到N689,
1
SN
所以1,即S.
1N
几何概型例题分析
[例1]甲、乙两人约定在下午4:00~5:00间在某地相见他们约好当其中一人先到后一定要等
另一人15分钟,若另一人仍不到则可以离去,试求这人能相见的概率。
解:设x为甲到达时间,,如图|xy|15时可相见,即阴:.
6024527
影部分P
60216
[例2]设A为圆周上一定点,在圆周上等可能任取一点与A连接,求弦长超过半径2倍的概
率。
BCDR1
解:|AB||AC|2R.∴P
圆周2R2
1
[例3]将长为1的棒任意地折成三段,求三段的长度都不超过的概率。
2
解:设第一段的长度为x,第二段的长度为y,第三段的长度为1xy,则基本事件
组所对应的几何区域可表示为
1
{(x,y)|0x1,0y1,0xy1},即图中黄色区域,此区域面积为。
2
1
事件“三段的长度都不超过”所对应的几何区域可表示为
2
111
A{(x,y)|(x,y),x,y,1xy}
222
111
即图中最中间三角形区域,此区域面积为()2
228
1
181
此时事件“三段的长度都不超过”的概率为P
214
2
[例4]两对讲机持有者张三、李四,为卡尔货运公司工作,他们对讲机的接收范围是25km,
下午3:00张三在基地正东30km内部处,向基地行驶,李四在基地正北40km内部处,:.
向基地行驶,试问下午3:00,他们可以交谈的概率。
解:设x,y为张三、李四与基地的距离x[0,30],y[0,40],以基地为原点建立坐
(x,y),表示区域总面积为1200,可以交谈即x2y225
1
252
425
故P
1200192
[例5]在区间[1,1]上任取两数a,b,运用随机模拟方法求二次方程x2axb0两根均
为正数的概率。
a24b0
xxa0
12
xxb0
12
解:(1)利用计算器产生0至1区间两组随机数a,b
11
(2)变换aa21,bb21
11
1
(3)从中数出满足条件ba2且a0且b0的数m
4
m
(4)P(n为总组数)
n
[例6]在单位圆的圆周上随机取三点A、B、C,求ABC是锐角三角形的概率。
解法1:记ABC的三内角分别为,,,事件A表示“ABC是锐角三角
形”,则试验的全部结果组成集合
{(,)|0,,0}。
因为ABC是锐角三角形的条件是
0,且
22
所以事件A构成集合
A{(,)|,0,}
22:.
由图2可知,所求概率为
1
()2
A的面积221
PA()。
的面积14
2
2
解法2:如图3所示建立平面直角坐标系,A、B、C、C为单位圆与坐标轴的交点,
12
当ABC为锐角三角形,记为事件A。则当C点在劣弧CC上运动时,ABC即为锐角三
12
角形,即事件A发生,所以
1
2
41
P(A)
24
解决问题的关键是要构造出随机事件对应的几何图形,利用图形的几何度量来求随机事件
的概率。
[例7]将长为L的木棒随机的折成3段,求3段构成三角形的概率.
解:设M“3段构成三角形”.x,y分别表示其中两段的长度,则第三段的长度为
Lxy.(x,y)|0xL,0yL,0xyL.
1
由题意,x,y,Lxy要构成三角形,须有xyLxy,即xy;
2
L
x(Lxy)y,即y;y(Lxy)x,
2
L
即x.
2
LLL
故M(x,y)|xy,y,x.
222
如图1所示,可知所求概率为
1L2
·
M的面积221
P(M).
的面积L24
2
[例8]在区间[0,1]上任取三个实数x,y,z,事件A{(x,y,z)|x2y2z21}.
(1)构造出此随机事件对应的几何图形;
(2)利用该图形求事件A的概率.
解:(1)如图2所示,构造单位正方体为事件空间,正方体以O为球心,以1为半径
1
在第一卦限的球即为事件A.
8:.
14
π·13
83π
(2)P(A)
136
A
B
P
DC
例9图
[例9]例5、如图所示,在矩形ABCD中,AB=5,AC=,
求APB900时的概率。
解:由于是向该矩形内随机投一点P,点P落在矩形内的机会是均等的,故可以认为矩
形ABCD是区域.要使得APB900,须满足点P落在以线段AB为直径的半圆内,以
“点P落在以线段AB为直径的半圆内”为事件A,
于是求APB900时的概率,转化为求以线段AB为直径的半圆的面积与矩形ABCD的
1525
面积的比,依题意得,()2,矩形ABCD的面积为35,故所求的
A228
25
85
概率为P(A).
3556
点评:挖掘出点P必须落在以线段AB为直径的半圆内是解答本题的关键。
[课后****题]
,至少出现两次正面的概率是()
1132
:B
4283
,则使APB90°的概率是()
ππππ
答案:C
8484
,且在车站停1min,则乘客到达站台立即乘上车的概率
是()
11111
:D
1066011
,并在绳子上挂一盏灯,则灯与两端距离都大于2m:.
的概率是()
1111
:B
2345
,使得该点到此三角形的直角顶点的距离不大
于1的概率是()
ππππ
:B
16842
1
[0,3]上任取一点,:
3
,假如在海域中任意一点钻
1
探,:
250
,从中随机取出10ml,则其含有麦锈
:
(均匀地)分成两个非负实数,-3,
然后对每一个数取与它最接近的整数,如在上述第一个例子中是取2和0,在第二个例子中
2
?(答案:)
5
,在斜边AB上任取一点M,求AM小于AC的概率。(答案:
3
)
4
p13
[0,5]上随机地取值,求方程x2px0有实根的概率。(答案:)
425
xy19
{(x,y)|0x5,0y4}内任取一个元素,能使代数式0的概
4312
3
率是多少?(答案:)
10