文档介绍：一、集合
二、映射
三、函数
第一章函数与极限
第一节映射与函数
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元素 a 属于集合 M , 记作
元素 a 不属于集合 M , 记作
一、集合
1. 定义及表示法
定义 1.
具有某种特定性质的事物的总体称为集合.
组成集合的事物称为元素.
不含任何元素的集合称为空集,
记作.
( 或
) .
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表示法:
(1) 列举法:
按某种方式列出集合中的全体元素.
例1
有限集合
自然数集
(2) 描述法:
x 所具有的特征
例2 整数集合
或
有理数集
p 与 q 互质
实数集合
x 为有理数或无理数
开区间
闭区间
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无限区间
点的邻域
其中, a 称为邻域中心, 称为邻域半径.
半开区间
去心邻域
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是 B 的子集, 或称 B 包含 A ,
2. 集合之间的关系及运算
定义2
则称 A
若
且
则称 A 与 B 相等,
例如,
显然有下列关系:
,
,

若
设有集合
记作
记作
必有
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定义3 给定两个集合 A, B,
并集
交集
且
差集
且
定义下列运算:
余集
直积
特例:
记
为平面上的全体点集
或
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二、映射
1. 映射的概念
某校学生的集合
学号的集合
按一定规则查号
某班学生的集合
某教室座位
的集合
按一定规则入座
例
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定义4.
设 X , Y 是两个非空集合,
若存在一个对应规
则 f ,
使得
有唯一确定的
与之对应,
则
称 f 为从 X 到 Y 的映射,
记作
元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的像,
记作
元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的原像.
集合 X 称为映射 f 的定义域;
Y 的子集
称为 f 的值域.
注意:
1) 映射的三要素—定义域, 对应规则, 值域.
2) 元素 x 的像 y 是唯一的, 但 y 的原像不一定唯一.
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对映射
若
, 则称 f 为满射;
若
有
则称 f 为单射;
若 f 既是满射又是单射,
则称 f 为双射或一一映射.
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X (数集或点集)
说明:
在不同数学分支中有不同的惯用
X (≠)
Y (数集)
f 称为X 上的泛函
X (≠)
X
f 称为X 上的变换
R
f 称为定义在 X 上的为函数
映射又称为算子.
名称. 例如,
函数的两个要素:
1、定义域;
2、对应法则
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