文档介绍：一、平面的点法式方程
二、平面的一般方程
三、两平面的夹角
§ 平面及其方程
上页
下页
铃
结束
返回
首页
一、平面的点法式方程
如果一非零向量垂直于一平面, 这向量就叫做该平面的法线向量.
法线向量
平面上的任一向量均与该平面的法线向量垂直.
当平面上一点M0(x0, y0, z0)和它的一个法线向量n=(A, B, C)为已知时, 平面的位置就完全确定了.
唯一确定平面的条件
下页
已知M0(x0, y0, z0)为平面上一点, n=(A, B, C)为平面的一个法线向量.
设M(x, y, z)是平面上的任一点, 则有
因为 n=(A, B, C),
平面的点法式方程
所以 A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.
这就是平面的方程, 称为点法式方程.
下页
一、平面的点法式方程
过点M0(x0, y0, z0)且法线向量为n=(A, B, C)的平面的方程为 A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.
(x-2)-2(y+3)+3z=0,
即 x-2y+3z-8=0.
例1 求过点(2, -3, 0)且以n=(1, -2, 3)为法线向量的平面的方程.
解
根据平面的点法式方程, 得所求平面的方程为
下页
平面的点法式方程
例2 求过三点M1(2,-1, 4)、M2(-1, 3,-2)和M3(0, 2, 3)的平面的方程.
解
所以
根据平面的点法式方程, 得所求平面的方程为
首页
过点M0(x0, y0, z0)且法线向量为n=(A, B, C)的平面的方程为 A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.
平面的点法式方程
14(x-2)+9(y+1)-(z-4)=0,
即14x+9y-z-15=0.
二、平面的一般方程
由于平面的点法式方程是x, y, z的一次方程, 而任一平面都可以用它上面的一点及它的法线向量来确定, 所以任一平面都可以用三元一次方程来表示.
反过来, 可以证明任一三元一次方程Ax+By+Cz+D=0的图形总是一个平面.
方程Ax+By+Cz+D=0称为平面的一般方程, 其法线向量为n=(A, B, C).
例如, 方程3x-4y+z-9=0表示一个平面, n=(3,-4, 1)是这平面的一个法线向量.
下页
平面的一般方程为Ax+By+Cz+D=0,其法线向量为n=(A, B, C).
平面方程
By+Cz+D=0
Ax+Cz+D=0
Ax+By+D=0
Cz+D=0
Ax+D=0
By+D=0
法线向量
法线向量垂直于
平面平行于
x轴
y轴
z轴
xOy平面
yOz平面
zOx平面
n(0, B, C)
n(A, 0, C)
n(A, B, 0)
n(0, 0, C)
n(A, 0, 0)
n(0, B, 0)
x轴
y轴
z轴
x轴和y轴
y轴和z轴
x轴和z轴
讨论:
:
提示: D0, 平面过原点.
+By+Cz=0有什么特点?
下页
提示:
平面通过x轴, 表明A=0(它的法线向量垂直于x轴)且D=0(它通过原点).
可设此平面的方程为
By+Cz=0.
又因为此平面通过点(4, -3, -1), 所以有
-3B-C=0.
将C=-3B其代入所设方程, 得
By-3Bz=0.
于是所求的平面方程为
y-3z=0.
下页
平面的一般方程为Ax+By+Cz+D=0,其法线向量为n=(A, B, C).
例3 求通过x轴和点(4, -3, -1)的平面的方程.
解
例4 设一平面与x、y、z轴的交点依次为P(a, 0, 0)、
Q(0, b, 0)、R(0, 0, c), 求此平面的方程(a0, b0, c0).
将其代入所设方程, 得
下页
解
因为点P、Q、R都在这平面上所以它们的坐标都满足所设方程即有
aAD0 bBD0 cCD0
设所求平面的方程为Ax+By+Cz+D0.
上述方程叫做平面的截距式方程, 而a、b、c依次叫做平面在x、y、z轴上的截距.
三、两平面的夹角
设平面1和2的法线向量分别为
n1=(A1, B1, C1),
n2=(A2, B2, C2),
那么平面1和2的夹角应满足
下页
两平面的法线向量的夹角(通常指锐角)称为两平面的夹角.