大学课件函数的连续性 第五节.ppt

文档介绍：不定积分的概念和性质
换元积分法和分部积分法
定积分的概念和性质
定积分的换元积分法和分部积分法
定积分的应用和推广
第三章一元积分学
二、第二换元法(变量替换法)
第一换元法中,通过引入中间变量,将被积函数凑成某个已知函数(一般是基本积分表中的)的微分形式,从而计算出不定积分。即先凑微分,再作代换。
令
令
第二换元法则沿着与第一换元法相反的路线进行计算,即先作代换,再求积分。求出积分后再通过反代换求出原积分。因此要求代换必须是可逆的。所以第二换元法的条件比第一换元法强,主要用来求无理函数的不定积分。
定理2(不定积分的第二换元积分法)
已知函数有连续的导数,且。
如果
那么
无理代换
例 17
令,则
原式
例 18
原式
令,则
例 19
原式
令,则
三、分部积分法
例20
分析:本题不能使用第一换元法。因为虽然可以有
但是或者
不在积分公式表中,并且目前也不知道积分结果。
或者
注意到
如果能交换与,得到新的积分
显然问题就解决了.
令则
观察发现, 两个积分的关系转化为与的关系
定理3(不定积分的分部积分法)
已知函数都可导,则
即
联想到
证明: