大学课件函数的连续性 第三节.ppt

文档介绍：§5 利用导数研究函数
单调递增函数
单调递减函数
一. 函数的单调性
说明
(1) 对于无穷区间,结论也成立.
(2) 当导函数仅在该区间内有限个点处为零时结论也成立.
定理1(函数单调性的判别法,即充分条件)
在点可导,且导函数不变号。(1)若,则函数在区间内是单调递增的;
(2)若,则函数在区间内是单调递减的。
(3)导数为0的点称为函数的驻点.
得驻点。
求函数的单调区间。
例 1
解:
当或时,
所以函数在区间及内是单调递增的;在区间内是单调递减的。
令
当时,
求函数的单调区间。
例2
解:
又时不存在。
得驻点
所以函数在区间及内是单调递增的;在区间及内是单调递减的。
二. 函数的极值
(极值的定义)对于函数在点的某个邻域内的任何一点,都有
定义1
则称为函数的极大值(极小值),
为函数的极大值点(极小值点)。
极大点
极小点
注意:
(1) 极值是局部概念,最值是整体概念;
(2) 极值点肯定不会是端点;
(3) 极小值可能会大于极大值;
(4) 区间内的最值点必为极值点。
定理2 (极值的必要条件)可导的极值点一定是驻点。即: 若存在,且是极值点,则。
注意:
(1)定理2的逆命题不成立。即驻点未必是极值点。
(2)不可导的点也有可能是极值点。
(3)定理2说明驻点和不可导的点都是可能的极值点。
定理3 (极值的一阶充分条件)
两侧导函数异号的可能的极值点必是极值点。即: 设函数在点的某邻域内处处可导,并且
,或函数在点不可导但连续,那么
(1)若时, 时,则点为函数的极小值点。
(2)若时, 时,则点为函数的极大值点。
定理4 (极值的二阶充分条件)
二阶函数值不为零的驻点必是极值点。即: 设函数在点存在二阶导数,并且
则:(1) 时点为函数的极大值点。
(2) 时点为函数的极小值点。
注意
对于二阶导数值为零的驻点,需要使用其他的方法来判定该点是否为函数的极值点。