文档介绍：导数的概念
导数的计算
微分
洛必达法则
利用导数研究函数
第二章一元微分学
§1 导数----函数的局部变化率
一、切线问题
圆的切线是“与圆仅有一个交点的直线”。此定义可以推广到椭圆。
问题:
对于一般的曲线,如何定义其在一点的切线呢?
具体地说: 1. 如何定义切线;
2. 如何求出切线斜率。
P
Q
o
x
y
y=f(x)
割线
切线
T
(切线的一般定义)点为曲线
上一定点,过点作直线交曲线于点,斜率为
即时,可见割线趋向于一条直线,此即切线.
当点沿曲线趋向于点
因此切线为割线的极限位置.
定义1
例:求曲线y=f (x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.
Q
P
y
=
x
2
+1
x
y
-
1
1
1
O
j
M
D
y
D
x
因此,切线方程为y-2=2(x-1),
即y=2x.
二、导数的定义
在点
(导数的定义)对于函数在点的自变量的增量以及相应地的因变量的增量
定义2
如果函数的局部变化率有极限,则称函数
在点可导,称此极限为函数在点
的导数,记为;否则称在点不可导。
根据导数的定义,
令
显然时
因此得到导数定义的等价形式
由导数的意义可知,求函数y=f(x)在点x0处的导数的基本方法是:
注意:这里的增量不是一般意义上的增量,它可正也可负.
自变量的增量Δx的形式是多样的,但不论Δx选择
哪种形式, Δy也必须选择与之相对应的形式.
例1
已知存在,求
解:
原式=
如果函数y=f (x)在区间(a ,b)内每一点都可导,就说函数y=f (x)在区间(a ,b)内可导.
对每一个 x(a ,b) 都有唯一确定的导数值与它对应.
在区间(a,b)内就构成一个新的函数.
这个新的函数叫做函数f (x)在区间(a ,b)内的导函数,记作
在不致发生混淆时,导函数也简称导数.