文档介绍：不定积分的概念和性质
换元积分法和分部积分法
定积分的概念和性质
定积分的换元积分法和分部积分法
定积分的应用和推广
第三章一元积分学
§5 定积分的应用与推广
一、微元分析法
分割
近似
求和
取极限
求曲边梯形的面积时我们采取了“四步曲”:
这四步中,关键的一步是第二步“近似”,即在极小的小曲边梯形上选择适当的函数,得到小曲边梯形的面积的一个近似。
可以证,这里的“近似”就是用所求曲边梯形的面积关于自变量的微分(称为面积微元)来近似小曲边梯形的面积。
形如这样的方法就称为微元(分析)法。
微元(分析)法适用于求解自然科学、工程科学、经济科学等中出现的平面图形的面积、平面曲线的弧长、变力做功、消费者剩余、生产者剩余等大量问题。这些问题要求求出在给定区间上某个不均匀分布的整体量。
二、定积分的几何应用
1、(直角坐标系下)平面图形的面积
例1 ( “X”型区域的面积)
如图,连续曲线位于曲线的上方,求两曲线与直线
所围成的平面图形(如图)的面积。
用面积微元(图中小矩形的面积)近似代替小区间上的平面图形的面积,即
因此
由微元法,在区间上任取小区间
特殊的“X”型区域:
而在区域内左右平移直线,分别可至
解:
显然穿入时与曲线相交,穿出时与曲线相交。
例 2
求曲线及直线所围成的平面图形的面积。
分析:用平行于轴的直线自下而上穿过相应的区域。
例 3
求曲线及轴所围成的平面图形的面积。
分析:根据对称性,所求面积为第一象限中的相应区域面积的两倍,
用平行于轴的直线自下而上穿过相应的区域。
在区间和上的穿出曲线不同,因此用直线
将区域划分成两块。
解:
思考:如果用平行于轴的直线自左而右穿过第一象限中相应的区域呢?