文档介绍：不定积分的概念和性质
换元积分法和分部积分法
定积分的概念和性质
定积分的换元积分法和分部积分法
定积分的应用和推广
第三章一元积分学
§3 定积分的概念和性质
一. 定积分的定义
引例
求由连续曲线与轴,以及直线
所围成的曲边梯形的面积。
解决步骤:
1) 分割.
在区间[a , b] 中任意插入 n –1 个分点
用直线
将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;
2) 近似.
在第i 个窄曲边梯形上任取
作以
为底,
为高的小矩形,
并以此小
梯形面积近似代替相应
窄曲边梯形面积
得
3) 求和.
4) 取极限.
令
则曲边梯形面积
1 分割
2 以直代曲
(近似)
3 求和
y
x
o
y=f (x)
a
b
.
.
分法越细,越接近精确值
1. 曲边梯形的面积
f (i)
.
4 取极限
y
x
o
y=f (x)
令分法无限变细
.
a
b
.
.
.
分法越细,越接近精确值
1 分割
2 以直代曲
(近似)
3 求和
f (i)
1. 曲边梯形的面积
4 取极限
y
x
o
y=f (x)
令分法无限变细
.
.
.
.
分法越细,越接近精确值
1 分割
2 以直代曲
(近似)
3 求和
f (i)
S =
.
S
.
a
b
1. 曲边梯形的面积

已知物体直线运动的速度vv(t)是时间 t 的连续函数,且v(t)0, 计算物体在时间段[T1, T2]内所经过的路程S.
(1)分割:
T1t0<t1<t2< <tn1<tnT2, Dtititi1;
(2)近似:
物体在时间段[ti1, ti]内所经过的路程近似为
DSiv(i)Dti ( ti1< i<ti );
物体在时间段[T1, T2]内所经过的路程近似为
(3)求和:
(4)取极限:
记max{Dt1, Dt2,, Dtn}, 物体所经过的路程为
定义1
(定积分的定义)对于函数及其定义区间。先将区间任意划分成个小区间,分点依次为
在每个小区间上任取一点作积和
。如果最大的小区间的长度
时此积和的极限存在,则称函数
在区间上可积,并称此极限为函数
在区间上的定积分。记为
其中称为积分区间, 分别称为积分上限和积分下限。
几点注意:
(1) 定积分是个极限,因而是一个实数。
(2) 定积分的值仅与被积函数和积分区间有关,与区间的划分方式及近似的方法无关。