文档介绍：第二十二讲面积问题与面积方法
几何学的产生,,而且也是用来研究几何学的一个有力工具.
下面,我们把常用的一些面积公式和定理列举如下.
(1)三角形的面积
(i)三角形的面积公式
b+c)是半周长,r是△ABC的内切圆半径.
(ii)等底等高的两个三角形面积相等.
(iii)两个等底三角形的面积之比等于高之比;两个等高三角形的面积之比等于底边之比;两个三角形面积之比等于底、高乘积之比.
(iv)相似三角形的面积之比等于相似比的平方.
(2)梯形的面积
梯形的面积等于上、下底之和与高的乘积的一半.
(3)扇形面积
其中r为半径,l为弧长,θ为弧l所对的圆心角的度数,α是弧度数.
解因为CD⊥AB,AC=CB,且△ABD内接于半圆,由此可得
所以,阴影部分AEFBDA的面积是
例2 已知凸四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且△ABC,△ACD,△ABD的面积分别为S1=5,S2=10,S3=△ABO的面积(图2-128).
解首先,我们证明△ABC与△,D分别作AC的垂线,垂足为E,△BEO
由题设
设S△AOB=S,则
所以
例3 如图2-129,AD,BE,CF交于△ABC内的一点P,并将△ABC分成六个小三角形,△ABC的面积.
分析如果能把未知的两个小三角形的面积求出,那么△,这两个面积是不难求出的.
解设未知的两个小三角形的面积为x和y,则
即
又
即
①÷②得
再由②得x=
S△ABC=84+70+56+35+40+30=315.
例4 如图2-130,通过△ABC内部一点Q引平行于三角形三边的直线,这些直线分三角形为六个部分,已知三个平形四边形部分的面积为S1,S2,S3,求△ABC的面积.
解为方便起见,设
S△QDG=S′1,S△QIE=S′2,S△QFH=S′3,则
所以
同理可得
从①,②,③中可以解得
所以
例5 在一个面积为1的正方形中构造一个如图2-131所示的正方形:将单位正方形的每一条边n等分,(图中阴影部分)的面积恰
解如图2-131,过F作BC的平行线交BG于H,则∠GHF=∠CED,∠FGH=∠DCE=90°,故
n2-n-90=0,
所以n=10.
有的平面几何问题,虽然没有直接涉及到面积,然而若灵活地运用面积知识去解答,往往会出奇制胜,事半功倍.
例6 在△ABC内部或边界上任取一点P,记P到三边a,b,c的距离依次为x,y,:ax+by+cz是一个常数.
证如图2-132,连结PA, PB,PC,把△ABC分成三个小三角形,则
S△ABC=S△PAB+S△PCB+S△PCA
所以 ax+by+cz=2S△ABC,
即ax+by+cz为常数.
说明若△ABC为等边三角